CF932G Palindrome Partition

给定一个串，把串分为偶数段

假设分为了\(s1,s2,s3....sk\)

求，满足\(s_1=s_k,s_2=s_{k-1}......\) 的方案数

\((2\le|s|\le10^{6})\)

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PAM好题QAQ

我们先把题目要求转化成回文串，假设分成了 \(k\) 段为 \(s_1,s_2,s_3\dots s_k\) ，我们单独看 \(s_1\) 和 \(s_k\) ，假设他们的长度是 \(x\) ，那么对于原串 \(a\) 就有：

\[a_1=a_{n-x+1},a_2=a_{n-x+2},\dots,a_x=a_{n} \]

于是我们构造一个串 \(b=a_1a_na_2a_{n-1}a_3a_{n-2}\dots\) ，这样子我们求长度为偶数且总和为 \(n\) 的回文串方案数就可以了。

然后我们考虑dp，设 \(f_i\) 表示以 \(i\) 结尾的方案数，那么就有 \(f_i=\sum_jf_{j-1}\) ，其中 \([j,i]\) 于是我们一直跳 \(fail\) 就可以得到所有的 \(j\) 。

但是这样子做过不去的，全是相同字符就会退化到 \(O(n^2)\) ，于是我们再进一步考虑。

对于字符串 \(border\) 有：一个字符串的所有 \(border\) 会形成 \(\log\) 个不相交的等差数列。

考虑证明，我们对于比 \(\frac{len}{2}\) 大的两个 \(border\) \(A,B\) ，假设 \(B\) 是该串的最长 \(border\) ，那么 \(len-|B|\) 是其最小周期，那么 \(len-|B| \ | \ len-|A|\) ，于是对于所有满足 \(s=k(len-|B|),len-s\ge len\) 的都是字符串的 \(border\) ，然后递归考虑 \(\frac{len}{2}\) 的问题就可以了。

那么对于回文串，我们显然有如果一个串 \(S\) 的后缀 \(T\) 是回文的，那么 \(T\) 是 \(S\) 的 \(border\) ，于是我们通过这个来优化复杂度。

设 \(g_p\) 表示以 \(p\) 这个结点结束的等差数列的贡献，具体点就是如果这段等差数列长度分别为 \(s_1,s_2,\dots s_k\) ，那么 \(g_p=\sum_{i=1}^kf_{x-s_i}\) ，\(x\) 是当前位置。

于是我们考虑求这个东西，根据回文串的性质，发现 \(g_p=g_{fail[p]}+f_{x-s_k}\) ，因为 \(fail_p\) 会把 \(p\) 之前的都算到，然后加上自己的贡献就可以了，这样子复杂度就变成了 \(O(n\log n)\)

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
const int N = 1e6;
const int mod = 1e9 + 7;
using namespace std;
int n;
char s[N + 5],ns[N + 5];
struct PAM
{
    int ch[N + 5][26],fail[N + 5],len[N + 5],nc,las,f[N + 5],sf[N + 5],d[N + 5],pos[N + 5];
    char s[N + 5];
    void init(char *ch)
    {
        for (int i = 1;i <= n;i++)
            s[i] = ch[i];
        s[0] = '#';
        len[1] = -1;
        pos[0] = 1;
        fail[0] = 1;
        f[0] = 1;
        nc = 1;
    }
    void insert(int x)
    {
        int p = las;
        while (s[x - len[p] - 1] != s[x])
            p = fail[p];
        if (!ch[p][s[x] - 'a'])
        {
            len[++nc] = len[p] + 2;
            int j = fail[p];
            while (s[x - len[j] - 1] != s[x])
                j = fail[j];
            fail[nc] = ch[j][s[x] - 'a'];    
            d[nc] = len[nc] - len[fail[nc]];
            if (d[nc] == d[fail[nc]])
                pos[nc] = pos[fail[nc]];
            else
                pos[nc] = fail[nc];
            ch[p][s[x] - 'a'] = nc;
        }
        las = ch[p][s[x] - 'a'];
        int j = las;
        while (j > 1)
        {
            sf[j] = f[x - len[pos[j]] - d[j]];
            if (pos[j] != fail[j])
                sf[j] += sf[fail[j]],sf[j] %= mod;
            if (x % 2 == 0)
                f[x] += sf[j],f[x] %= mod;
            j = pos[j];
        }
    }
    void build()
    {
        for (int i = 1;i <= n;i++)
            insert(i);
    }
}pa;
int main()
{
    scanf("%s",s + 1);
    n = strlen(s + 1);
    int l = 1,r = n;
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        if (i % 2 == 1)
            ns[i] = s[l++];
        else
            ns[i] = s[r--];
    pa.init(ns);pa.build();
    cout<<pa.f[n]<<endl;
    return 0;
}