CF629C Famil Door and Brackets
Family Door 的生日就要到了,Gabi(Family Door的好朋友)想要给他买一个礼物。Gabi决定买一个只包含 '('、')' 的字符串,毕竟 Family Door 最喜欢的字符串是长度为 \(n\) 的只包含 '('、')' 的字符串。
我们称一个只包含 '('、')' 的字符串“有效”当且仅当:
- '('的数量等于')'的数量;
- 对于该字符串的任意前缀,均满足'('的数量大于等于')'的数量;
Gabi 买了一个长度为 \(m\) 的只包含 '('、')' 的字符串 \(S\)。为了使它的长度达到 \(n\) ,Gabi要构造两个只包含'('、')'的字符串 \(P,Q\),然后将 \(P,S,Q\) 顺次连接得到字符串 \(S'\) 。
给出Gabi买的字符串 \(S\),要使 \(S'\) 有效,Gabi有多少种构造 \(P,Q\) 的方案?(\(P,Q\)都可以为空)。
\(1\leq m\leq n\leq 100000,n-m\leq 2000\)
水篇题解QAQ
显然可以分开考虑\(P,Q\)的方案,设\(f_{i,j}\)表示有\(i\)个\((\),\(j\)个\()\)的方案数,这个可以很轻松的dp出来:
\[f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i,j-1}
\]
然后我们枚举\(P\)的\((,)\)的情况,多注意一下就是\(S\)中\()\)会比\((\)多,所以我们记下\(S\)中某个位置最多的\()\)比\((\)多的个数\(x\),\(P\)中\((\)的个数就要比\()\)多\(x\)。
然后\(Q\)的情况就不用多dp了,\(j\)个\()\),\(i\)个\((\)的方案数就是\(f_{i,j}\)。
Code
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
const int N = 1e5;
const int M = 2e3;
const int p = 1e9 + 7;
using namespace std;
int n,m,f[M + 5][M + 5],sm1,sm2,ans,mx;
char ch[N + 5];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
scanf("%s",ch + 1);
if (n % 2 == 1)
{
cout<<0<<endl;
return 0;
}
f[0][0] = 1;
for (int i = 1;i <= M;i++)
{
f[i][0] = 1;
for (int j = 1;j <= i;j++)
f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i][j - 1]) % p;
}
for (int i = 1;i <= m;i++)
{
if (ch[i] == '(')
sm1++;
if (ch[i] == ')')
sm2++;
mx = max(sm2 - sm1,mx);
}
for (int i = 0;i <= n / 2 - sm1;i++)
for (int j = 0;j <= n / 2 - sm2;j++)
if (i - j >= mx)
ans += 1ll * f[i][j] * f[n / 2 - sm2 - j][n / 2 - sm1 - i] % p,ans %= p;
cout<<ans<<endl;
return 0;
}