威尔逊定理及证明

威尔逊定理：对于一个数\(p\)，若\(p\)是质数，则有\((p-1)!\equiv -1(mod\ p)\)

反过来也可以判断\(p\)是质数。

证明：首先我们求解方程\(x\equiv 1(mod\ p)\)的解，对式子化简则有

\[x-1\equiv 0 (mod\ p) \]

\[(x-1)(x+1)\equiv 0(mod\ p) \]

于是\(x\)只有\(1,-1\)两个解。

然后我们发现对于\(2…p-2\)的数\(x\)，一定有\(x\)的逆元不等于自身

然后考虑定理，对于\(p=2\)成立，那么对于\(p>2\)有\(p\)一定是奇数，所以\(2…p-2\)的数的个数是偶数个，那么对于\((p-1)!\)的阶乘，一定是两两相乘都变为了\(1\)，最后也就剩下一个\(1\)和\(-1\)，就有了\((p-1)!\equiv -1(mod\ p)\)