洛谷 P3722 [AH2017/HNOI2017]影魔
奈文摩尔有 \(n\) 个灵魂，他们在影魔宽广的体内可以排成一排，从左至右标号 \(1\) 到 \(n\)。第 \(i\) 个灵魂的战斗力为 \(k_i\)，灵魂们以点对的形式为影魔提供攻击力。对于灵魂对 \(i, j\ (i\lt j)\) 来说，若不存在 \(k_s\ (i\lt s\lt j)\) 大于 \(k_i\) 或者 \(k_j\)，则会为影魔提供 \(p_1\) 的攻击力。另一种情况，令 \(c\) 为 \(k_{i + 1}, k_{i + 2}, \cdots, k_{j -1}\) 的最大值，若 \(c\) 满足：\(k_i \lt c \lt k_j\)，或者 \(k_j \lt c \lt k_i\)，则会为影魔提供 \(p_2\) 的攻击力，当这样的 \(c\) 不存在时，自然不会提供这 \(p_2\) 的攻击力；其他情况的点对，均不会为影魔提供攻击力。
影魔的挚友噬魂鬼在一天造访影魔体内时被这些灵魂吸引住了，他想知道，对于任意一段区间 \([a, b]\)，位于这些区间中的灵魂对会为影魔提供多少攻击力，即考虑所有满足 \(a\le i\lt j\le b\) 的灵魂对 \(i, j\) 提供的攻击力之和。
顺带一提，灵魂的战斗力组成一个 \(1\) 到 \(n\) 的排列：\(k_1, k_1, \cdots, k_n\)。
简明题意:有一个n的排列k,对于一个区间\([l,r]\),如果\(k_l\)和\(k_r\)分别是这个区间的最大值和次大值,那么产生\(p_1\)的贡献,如果\(s=\max_{i=l+1}^{r-1} k_i\)满足\(k_l<s<k_r\),则会产生\(p_2\)的贡献,每次询问一个区间的答案,答案为这个区间所有子区间产生的贡献
乍一看不太能做的样子,所以我们考虑离线操作
先对每个i处理出向左第一个比i大的数的下标\(L_i\),向右第一个比i大的数的下标\(R_i\),这个可以直接用单调栈求出
然后考虑产生的贡献
- 区间\([L_i,R_i]\)会产生\(p_1\)的贡献
- 所有左端点在\([L_i+1,i-1]\),右端点是\(R_i\)的区间会产生\(p_2\)的贡献
- 所有左端点是\(L_i\),右端点在\([i+1,R_i-1]\)的区间会产生\(p_2\)的贡献
于是我们离线之后每次扫到\(R_i\)时就做一次贡献,把询问拆成r询问一次答案减去l-1询问一次的答案,然后就做完了
不要忘了所有的\([i,i+1]\)也会产生\(p_1\)的贡献
Code
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#define zrt k << 1
#define yrt k << 1 | 1
const int N = 2e5;
using namespace std;
struct Q
{
int x,id,typ,l,r;
}q[N * 2 + 5];
int n,p1,p2,m,k[N + 5],L[N + 5],R[N + 5],stk[N + 5],top,Q_cnt,m_cnt;
long long ans[N + 5];
int cmp(Q x,Q y)
{
return x.x < y.x;
}
struct Seg
{
long long sm[N * 4 + 5],tag[N * 4 + 5];
void jia(int k,int l,int r,long long z)
{
tag[k] += z;
sm[k] += z * (r - l + 1);
}
void pushdown(int k,int l,int r,int mid)
{
if (tag[k])
{
jia(zrt,l,mid,tag[k]);
jia(yrt,mid + 1,r,tag[k]);
tag[k] = 0;
}
}
void pushup(int k)
{
sm[k] = sm[zrt] + sm[yrt];
}
void add(int k,int l,int r,int x,int y,int z)
{
if (x > y)
return;
if (l >= x && r <= y)
{
tag[k] += z;
sm[k] += 1ll * z * (r - l + 1);
return;
}
int mid = l + r >> 1;
pushdown(k,l,r,mid);
if (x <= mid)
add(zrt,l,mid,x,y,z);
if (y > mid)
add(yrt,mid + 1,r,x,y,z);
pushup(k);
}
long long query(int k,int l,int r,int x,int y)
{
if (x > y)
return 0;
if (l >= x && r <= y)
return sm[k];
int mid = l + r >> 1;
pushdown(k,l,r,mid);
if (x > mid)
return query(yrt,mid + 1,r,x,y);
else
if (y <= mid)
return query(zrt,l,mid,x,y);
else
return query(zrt,l,mid,x,y) + query(yrt,mid + 1,r,x,y);
}
}tree;
struct modi
{
int l,r,x,v;
}t[N * 3 + 5];
int com(modi x,modi y)
{
return x.x < y.x;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&p1,&p2);
for (int i = 1;i <= n;i++)
scanf("%d",&k[i]);
int l,r;
for (int i = 1;i <= m;i++)
{
scanf("%d%d",&l,&r);
q[++Q_cnt].x = l - 1;
q[Q_cnt].id = i;
q[Q_cnt].typ = -1;
q[Q_cnt].l = l;
q[Q_cnt].r = r;
q[++Q_cnt].x = r;
q[Q_cnt].id = i;
q[Q_cnt].typ = 1;
q[Q_cnt].l = l;
q[Q_cnt].r = r;
ans[i] = (r - l) * p1;
}
k[n + 1] = n + 1;
for (int i = 1;i <= n + 1;i++)
{
while (top && k[stk[top]] < k[i])
R[stk[top--]] = i;
stk[++top] = i;
}
top = 0;
for (int i = n;i >= 1;i--)
{
while (top && k[stk[top]] < k[i])
L[stk[top--]] = i;
stk[++top] = i;
}
for (int i = 1;i <= n;i++)
{
if (L[i] && R[i] <= n)
t[++m_cnt] = (modi){L[i],L[i],R[i],p1};
if (L[i] + 1 <= i - 1 && R[i] <= n)
t[++m_cnt] = (modi){L[i] + 1,i - 1,R[i],p2};
if (i + 1 <= R[i] - 1 && L[i])
t[++m_cnt] = (modi){i + 1,R[i] - 1,L[i],p2};
}
sort(q + 1,q + Q_cnt + 1,cmp);
sort(t + 1,t + m_cnt + 1,com);
int j = 1,k = 1;
while (!q[k].x)
k++;
for (int i = 1;i <= n;i++)
{
while (t[j].x <= i && j <= m_cnt)
{
tree.add(1,1,n,t[j].l,t[j].r,t[j].v);
j++;
}
while (q[k].x <= i && k <= Q_cnt)
{
ans[q[k].id] += q[k].typ * tree.query(1,1,n,q[k].l,q[k].r);
k++;
}
}
for (int i = 1;i <= m;i++)
printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;
}
