欧拉定理以及费马小定理的推论和证明

今天连续对着三篇博客终于懂了欧拉定理和费马小定理的推论和证明，及时复习以免忘记。

欧拉定理

内容：若正整数\(a,n\)互质，那么\(a^{\varphi(n)} \equiv 1(mod\ n)\)

证明：我们知道1~n中和\(n\)互质的数有\({\varphi(n)}\)个，为\(x_{1},x_{2},x_{3}……x_{\varphi(n)}\)，那么就可以设一个集合\(M\)，其元素为

\(m_{1}=a\times x_{1}\)

\(m_{2}=a\times x_{2}\)

\(m_{3}=a\times x_{3}\)

\(……\)

\(m_{\varphi(n)}=a\times x_{\varphi(n)}\)

那么得到两条性质

性质一：集合\(M\)中的任意两个元素都不模\(n\)同余

证明：反证法。

假设\(M\)中有两个元素\(m_{i},m_{j}\)模\(n\)同余

所以\(m_{i}\equiv m_{j}(mod\ n)\)

替换得\(a\times x_{i}\equiv a\times x_{j}(mod\ n)\)

根据同余的同加性得到\(a\times (x_{i}-x_{j})\equiv 0(mod\ n)\)

因为\(a\)和\(n\)互质，所以\(x_{i}-x{j}\)是\(n\)的倍数

而每个\(x_{i}\)和\(x_{j}\)都比\(n\)小，所以上述结论不成立，原结论成立。

证毕

性质二：集合\(M\)中的数除以\(n\)的余数都与\(n\)互质

证明：首先\(m_{i}=a\times x_{i}\)，其中\(x_{i},a\)都与与\(n\)互质，那么\(m_{i}\)与\(n\)互质

由互质得\(gcd(m_{i},n)=1\)

由欧几里得定理得\(gcd(m_{i},n)=gcd(n,m_{i}\ mod\ n)=1\)

证毕

然后就可以化式子了

由性质二我们知道集合\(M\)中所有元素模\(n\)都能找到唯一一个\(x_{i}\)与其对应，即对于每个\(m_{i}\)都有一个\(x_{j}\)和它模\(n\)同余

那么把它们乘起来得到

\(m_{1}\times m_{2}\times m_{3}……m_{\varphi (n)}\equiv x_{1}\times x_{2}\times x_{3}……x_{\varphi (n)}(mod\ n)\)

带入

\(a\times x_{1}\times a\times x_{2}\times a\times x_{3}……a\times x_{\varphi (n)}\equiv x_{1}\times x_{2}\times x_{3}……x_{\varphi (n)}(mod\ n)\)

化简

\(a^{\varphi(n)}\times x_{1}\times x_{2}\times x_{3}……x_{\varphi (n)}\equiv x_{1}\times x_{2}\times x_{3}……x_{\varphi (n)}(mod\ n)\)

根据同余的同乘性得

\(a^{\varphi(n)} \equiv 1(mod\ n)\)

证毕

费马小定理

内容：若\(p\)是质数，则对于任意正整数\(a\)，有\(a^p\equiv a(mod\ p)\)

证明：根据欧拉函数的性质可得\(\varphi(p)=p-1\)

则\(a^{\varphi(p)+1}\equiv a(mod\ p)\)

由欧拉定理可得\(a^{\varphi(p)}\equiv 1(mod\ p)\)成立

故原式成立

证毕

欧拉定理的推论

内容：若正整数\(a,n\)互质，则对于任意正整数\(b\)，都有\(a^b\equiv a^{b\ mod\ \varphi(n)}(mod\ n)\)

证明：移项得\(a^{b-b\ mod\ \varphi(n)}\equiv 1(mod\ n)\)

因为\(\varphi(n)|b-b\ mod\ \varphi(n)\)，所以可设\(b-b\ mod\ \varphi(n)=k\times \varphi(n)\)

式子变为\(a^{k\times \varphi(n)}\equiv 1(mod\ n)\)

\((a^{k})^{\varphi(n)}\equiv 1(mod\ n)\)

由于\(a,n\)互质，那么\(a^{k},n\)也互质

再根据欧拉定理，原式成立

证毕