关于快速那些事

这段时间学了些关于快速$*$的东西，及时复习一下以免忘记

快速幂

求$b^pmod\ k$，其中$p$是个很大的数，比如……$10^{100}$

暴力就t了，所以我们考虑

如果$p$是偶数，那么$b^p=b^{p/2}\times b^{p/2}$

如果$p$是奇数，那么$b^p=b^{p/2}\times b^{p/2}\times b$

这个过程可以一直下去，最后时间复杂度就是$O(log(p))$的

Code

	s=1;
	while (p)
	{
		if (p&1)s=s*b%k;
		b=b*b%k;
		p>>=2;
	}

快速(龟速)乘

求$a\times b\ mod\ k$，其中$a,b$都是长整型数，也就是说相乘就会爆$long\ long$

怎么办呢，我们仍然考虑和快速幂一样的思路

如果$b$是偶数，那么$a\times b=a\times (b/2)+ a\times(b/2)$

如果$b$是奇数，那么$a\times b=a\times(b/2)+a\times(b/2)+a$

这个过程跟快速幂很类似，虽然时间是$O(log(b))$的，但很好的避免了爆$long\ long$的问题

不过话虽这么说，多个大常数很容易使程序t掉，所以如果不得已最好不要用快速乘

Code

	s=0;
   while (b)
   {
		if (b&1)s=(s+a)%k;
     a=a*2%k;
     b>>=1;
   }

口胡代码，有错见谅

矩阵快速幂

给你一个方阵$A$，求$A^k \ mod\ p$

既然是快速幂，那肯定避免不了乘法，首先我们要了解矩阵乘法的定义

设$A,B$是两个矩阵，$C=A\times B$那么

• $A$的列数必须和$B$的行数相等

• 如果$A$是$n\times r$的矩阵，$B$是$r\times m$的矩阵，那么$C$是一个$n\times m$的矩阵

• $C_{i,j}=\sum_{k=1}^{r}A_{i,k}\times B_{k,j}$

• 根据运算过程，显然矩阵乘法只有结合律没有交换律

而对于矩阵的乘幂来说，只有方阵，即行列个数相等的矩阵，可以进行乘幂运算

在此，我们还需要了解一个概念——单位矩阵

主对角线上的元素都是$1$，通常用$I$或$E$表示，图长这样子

$$I=\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}$$

这个东西可是非常的有用，任何数乘它都等于那个数本身，相当于线性运算中的$1$

然后矩阵快速幂就很好写出来啦

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define int long long
using namespace std;
int n,k,p=1e9+7,a[500][500],s[500][500],b[500][500];
void jzc(int x[500][500],int y[500][500])
{
	memset(b,0,sizeof(b));
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			for (int k=1;k<=n;k++)
				b[i][j]=(b[i][j]+x[i][k]*y[k][j])%p;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			x[i][j]=b[i][j];
}
signed main()
{
	cin>>n>>k;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			cin>>a[i][j],s[i][i]=1;
	while (k)
	{
		if (k&1)jzc(s,a);
		jzc(a,a);
		k>>=1;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=1;j<=n;j++)
			cout<<s[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}

可能还会有其他的一些快速$*$，以后学了会补充上。咕咕咕