关于快速那些事

这段时间学了些关于快速\(*\)的东西，及时复习一下以免忘记

快速幂

求\(b^pmod\ k\)，其中\(p\)是个很大的数，比如……\(10^{100}\)

暴力就t了，所以我们考虑

如果\(p\)是偶数，那么\(b^p=b^{p/2}\times b^{p/2}\)

如果\(p\)是奇数，那么\(b^p=b^{p/2}\times b^{p/2}\times b\)

这个过程可以一直下去，最后时间复杂度就是\(O(log(p))\)的

Code

	s=1;
	while (p)
	{
		if (p&1)s=s*b%k;
		b=b*b%k;
		p>>=2;
	}

快速(龟速)乘

求\(a\times b\ mod\ k\)，其中\(a,b\)都是长整型数，也就是说相乘就会爆\(long\ long\)

怎么办呢，我们仍然考虑和快速幂一样的思路

如果\(b\)是偶数，那么\(a\times b=a\times (b/2)+ a\times(b/2)\)

如果\(b\)是奇数，那么\(a\times b=a\times(b/2)+a\times(b/2)+a\)

这个过程跟快速幂很类似，虽然时间是\(O(log(b))\)的，但很好的避免了爆$long\ long $的问题

不过话虽这么说，多个大常数很容易使程序t掉，所以如果不得已最好不要用快速乘

Code

	s=0;
   while (b)
   {
		if (b&1)s=(s+a)%k;
     a=a*2%k;
     b>>=1;
   }

口胡代码，有错见谅

矩阵快速幂

给你一个方阵\(A\)，求\(A^k \ mod\ p\)

既然是快速幂，那肯定避免不了乘法，首先我们要了解矩阵乘法的定义

设\(A,B\)是两个矩阵，\(C=A\times B\)那么

• \(A\)的列数必须和\(B\)的行数相等

• 如果\(A\)是\(n\times r\)的矩阵，\(B\)是\(r\times m\)的矩阵，那么\(C\)是一个\(n\times m\)的矩阵

• \(C_{i,j}=\sum_{k=1}^{r}A_{i,k}\times B_{k,j}\)

• 根据运算过程，显然矩阵乘法只有结合律没有交换律

而对于矩阵的乘幂来说，只有方阵，即行列个数相等的矩阵，可以进行乘幂运算

在此，我们还需要了解一个概念——单位矩阵

主对角线上的元素都是\(1\)，通常用\(I\)或\(E\)表示，图长这样子

\[I=\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix} \]

这个东西可是非常的有用，任何数乘它都等于那个数本身，相当于线性运算中的\(1\)

然后矩阵快速幂就很好写出来啦

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define int long long
using namespace std;
int n,k,p=1e9+7,a[500][500],s[500][500],b[500][500];
void jzc(int x[500][500],int y[500][500])
{
	memset(b,0,sizeof(b));
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			for (int k=1;k<=n;k++)
				b[i][j]=(b[i][j]+x[i][k]*y[k][j])%p;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			x[i][j]=b[i][j];
}
signed main()
{
	cin>>n>>k;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			cin>>a[i][j],s[i][i]=1;
	while (k)
	{
		if (k&1)jzc(s,a);
		jzc(a,a);
		k>>=1;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=1;j<=n;j++)
			cout<<s[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}

可能还会有其他的一些快速\(*\)，以后学了会补充上。咕咕咕