洛谷 P2421 [NOI2002]荒岛野人

克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人，一开始依次住在山洞C1,C2,…,CN中，以后每年，第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。

每个野人i有一个寿命值Li，即生存的年数。

奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？

根据题目，设\(x\)为相遇天数，可以得到式子

\[c_{i}+p_{i}\times x\equiv c_{j}+p_{j}\times x(mod\ M)\ (1\le i,j\le N) \]

我们要保证对于每一对\((i,j)\)，这个式子都要无解或者求出来的\(x>min(l[i],[j])\)，即在两个人有一个人死了之后相遇

把这个式子化一下，就变成了

\[(p_i-p_j)\times x\equiv c_j-c_i(mod\ M) \]

写成方程的形式

\[(p_i-p_j)\times x+M\times y=c_j-c_i \]

怎么解呢，我们不妨设\(a=p_i-p_j,b=M,c=c_i-c_j\)

方程就成了

\[ax+by=c \]

设\(g=gcd(a,b)\)，当\(g|c\)时，设\(a'=a/g,b'=b/g,c'=c/g\)

我们可以用\(exgcd\)，即扩展欧几里得算发求出\(a'x'+b'y'=1\)的一组解\(x',y'\)

两边乘\(c'\)，得到\(a'c'x'+b'c'y'=c'\)

两边乘\(g\)，得到\(a'gc'x'+b'gc'y'=c'g\)

化简得到\(ac'x'+bc'y'=c\)

于是我们得到了方程一组解\(x_0=x'c',y_0=y'c'\)

因为\(M\)最大到\(10^6\)，所以从\(Max_{i=1}^{n}c_i-10^6\)枚举\(M\)，如果方程都无解或者\(x>min(l[i],[j])\)，那这个\(M\)就是答案了

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define N 1000000
#define int long long
using namespace std;
int n,d[500],p[500],l[500],mm;
int gcd(int x,int y)
{
	if (!y)return x;
	return gcd(y,x%y);
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if (!b)x=1,y=0;
	else
	{
		exgcd(b,a%b,x,y);
		int t=x;
		x=y;
		y=t-a/b*y;
	}
}
int check(int m)
{
	for (int i=1;i<n;i++)
		for (int j=i+1;j<=n;j++)
		{
			int a=p[i]-p[j],b=m,c=d[j]-d[i],g=gcd(a,b),x,y;
			if (c%g!=0)continue;
			a/=g,b/=g,c/=g;	
			exgcd(a,b,x,y);
			if (b<0)b=-b;			
			x=(x*c%b+b)%b;
			if (x<=min(l[i],l[j]))return 0;
		}
	return 1;
}
signed main()
{
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		cin>>d[i]>>p[i]>>l[i],mm=max(mm,d[i]);
	for (int i=mm;i<=N;i++)
	{
		if (check(i))
		{
			cout<<i<<endl;
			return 0;
		}
	}
	return 0;
}