Catalan数
学了Catalan数,赶紧复习怕自己忘记
先丢个问题吧
问题:给n个0和n个1,它们按照某种顺序排成长度为2n的数列,对于每个前缀,0的数量都不少于1的数量的数列个数。
解:令这些数排成一个长度为2n的数列,且不满足每个前缀中0的数列不少于1的数量,那么必定存在一个最小的位置2i+1∈[1,2n],使得这个前缀中有i个0,i+1个1,而对后面的数取反后,有n-i-1个0,n-i个1,于是我们得到了一个有n-1个0,n+1个1排成的数列。
同理,如果把有n-1个0,n+1个1排成的数列继续进行上述操作,就得到了有n个0,n个1排成的数列。
这便构成了一个双射:
-
由n个0和n个1排成的存在一个前缀中1比0多的数列。
-
由n-1个0和n+1个1排成的数列。
然后式子就出来了
Cat_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=\frac{(2n)!}{n!\times n!}-\frac{(2n)!}{(n-1)!\times(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\times C_{2n}^n
这就是卡特兰(Catalan)数了
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