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Catalan数

学了Catalan数,赶紧复习怕自己忘记

先丢个问题吧

问题:给n0n1,它们按照某种顺序排成长度为2n的数列,对于每个前缀,0的数量都不少于1的数量的数列个数。

:令这些数排成一个长度为2n的数列,且不满足每个前缀中0的数列不少于1的数量,那么必定存在一个最小的位置2i+1∈[1,2n],使得这个前缀中有i0i+11,而对后面的数取反后,有n-i-10n-i1,于是我们得到了一个有n-10n+11排成的数列。

同理,如果把有n-10n+11排成的数列继续进行上述操作,就得到了有n0n1排成的数列。

这便构成了一个双射:

  1. n0n1排成的存在一个前缀中10多的数列。

  2. n-10n+11排成的数列。

然后式子就出来了

Cat_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=\frac{(2n)!}{n!\times n!}-\frac{(2n)!}{(n-1)!\times(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\times C_{2n}^n

这就是卡特兰(Catalan)数了

posted @   eee_hoho  阅读(60)  评论(0编辑  收藏  举报
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