逆元

乘法逆元

定义

若ax≡1modp$ax\equiv 1\mathrm{mod}p$,则称x$x$是a$a$在modp$\mathrm{mod}p$意义下的逆元，记为x≡a−1modp$x\equiv a^{-1}\mathrm{mod}p$

当然，a$a$也是x$x$在modp$\mathrm{mod}p$意义下的逆元

ab=a⋅b−1$\frac{a}{b}=a\cdot b^{-1}$

几乎所有模意义下的除法都需要逆元

有逆元的充要条件

a$a$在modp$\mathrm{mod}p$意义下有逆元的充要条件：(a,p)=1$(a,p)=1$

逆元的求法

EXGCD

若求a$a$在modp$\mathrm{mod}p$意义下的逆元，则可以转化为求解如下方程

ax+py=1$$ax+py=1$$

有EXGCD的相关知识可以得到，当且仅当(a,p)=1$(a,p)=1$时有解（有逆元的充要条件的证明）

费马小定理

如果p$p$为质数，则ap−1≡1modp$a^{p-1}\equiv 1\mathrm{mod}p$

∴a⋅ap−2≡1$\therefore a\cdot a^{p-2}\equiv 1$

∴ap−2≡a−1$\therefore a^{p-2}\equiv a^{-1}$

欧拉定理

将费马小定理中的p−2$p-2$换为φ(p)−1$\phi (p)-1$即可

p$p$可以不是质数

递推

用于O(n)$O(n)$预处理[1⋯n]$[1\cdots n]$的逆元

构造p=ki+r$p=ki+r$

∴ki+r≡0modp$\therefore ki+r\equiv 0\mathrm{mod}p$

∴ki=−r$\therefore ki=-r$

∴i−1=−k⋅r−1$\therefore i^{-1}=-k\cdot r^{-1}$

其中k=⌊pi⌋,r=p%i$k=\lfloor \frac{p}{i}\rfloor ,r=p\mathrm{\%}i$

∴i−1=−⌊pi⌋⋅inv[p%i]$\therefore i^{-1}=-\lfloor \frac{p}{i}\rfloor \cdot inv[p\mathrm{\%}i]$

为了防止出现负数，通常的写法是这样的

inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;