BZOJ 4720: [Noip2016]换教室

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Description

对于刚上大学的牛牛来说,他面临的第一个问题是如何根据实际情况申请合适的课程。在可以选择的课程中,有2n节
课程安排在n个时间段上。在第i(1≤i≤n)个时间段上,两节内容相同的课程同时在不同的地点进行,其中,牛牛预先
被安排在教室ci上课,而另一节课程在教室di进行。在不提交任何申请的情况下,学生们需要按时间段的顺序依次完
成所有的n节安排好的课程。如果学生想更换第i节课程的教室,则需要提出申请。若申请通过,学生就可以在第i个
时间段去教室di上课,否则仍然在教室ci上课。由于更换教室的需求太多,申请不一定能获得通过。通过计算,牛牛
发现申请更换第i节课程的教室时,申请被通过的概率是一个已知的实数ki,并且对于不同课程的申请,被通过的概率
是互相独立的。学校规定,所有的申请只能在学期开始前一次性提交,并且每个人只能选择至多m节课程进行申请。
这意味着牛牛必须一次性决定是否申请更换每节课的教室,而不能根据某些课程的申请结果来决定其他课程是否申
请;牛牛可以申请自己最希望更换教室的m门课程,也可以不用完这m个申请的机会,甚至可以一门课程都不申请。因
为不同的课程可能会被安排在不同的教室进行,所以牛牛需要利用课间时间从一间教室赶到另一间教室。牛牛所在
的大学有v个教室,有e条道路。每条道路连接两间教室,并且是可以双向通行的。由于道路的长度和拥堵程度不同,
通过不同的道路耗费的体力可能会有所不同。当第i(1≤i≤n-1)节课结束后,牛牛就会从这节课的教室出发,选择一
条耗费体力最少的路径前往下一节课的教室。现在牛牛想知道,申请哪几门课程可以使他因在教室间移动耗费的体
力值的总和的期望值最小,请你帮他求出这个最小值。
Input

第一行四个整数n,m,v,e。n表示这个学期内的时间段的数量;m表示牛牛最多可以申请更换多少节课程的教室;
v表示牛牛学校里教室的数量;e表示牛牛的学校里道路的数量。
第二行n个正整数,第i(1≤i≤n)个正整数表示c,,即第i个时间段牛牛被安排上课的教室;保证1≤ci≤v。
第三行n个正整数,第i(1≤i≤n)个正整数表示di,即第i个时间段另一间上同样课程的教室;保证1≤di≤v。
第四行n个实数,第i(1≤i≤n)个实数表示ki,即牛牛申请在第i个时间段更换教室获得通过的概率。保证0≤ki≤1。
接下来e行,每行三个正整数aj,bj,wj,表示有一条双向道路连接教室aj,bj,通过这条道路需要耗费的体力值是Wj;
保证1≤aj,bj≤v,1≤wj≤100。
保证1≤n≤2000,0≤m≤2000,1≤v≤300,0≤e≤90000。
保证通过学校里的道路,从任何一间教室出发,都能到达其他所有的教室。
保证输入的实数最多包含3位小数。
Output

输出一行,包含一个实数,四舎五入精确到小数点后恰好2位,表示答案。你的
输出必须和标准输出完全一样才算正确。
测试数据保证四舎五入后的答案和准确答案的差的绝对值不大于4*10^-3。(如果你不知道什么是浮点误差,这段话
可以理解为:对于大多数的算法,你可以正常地使用浮点数类型而不用对它进行特殊的处理)
Sample Input

3 2 3 3

2 1 2

1 2 1

0.8 0.2 0.5

1 2 5

1 3 3

2 3 1
Sample Output

2.80

题解

为数不多的期望dp题,写着那一坨一坨的转移方程真的爽。
dp[i][j][0/1]表示前i个时间段一共换了j次，这次要不要换的路程。
转移方程看代码。。大意就是成功的概率×成功的路程+失败的概率×失败的路程
预处理先弗洛伊德求出最短路。细节还是蛮多的。
记着他们告我前年yhx大爷A了这道题，%%%。

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int MAXN = 2005;
const double inf = 1e9+1;

inline int rd(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int n,m,v,e,dis[305][305],c[MAXN],d[MAXN];
double dp[MAXN][MAXN][2],k[MAXN],ans=1e9+5;

int main(){
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    n=rd();m=rd();v=rd();e=rd();
    for(register int i=1;i<=n;i++) c[i]=rd();
    for(register int i=1;i<=n;i++) d[i]=rd();
    for(register int i=1;i<=n;i++)  scanf("%lf",&k[i]);
    int x,y,z;
    for(register int i=1;i<=e;i++){
        x=rd();y=rd();z=rd();
        dis[x][y]=dis[y][x]=min(dis[x][y],z);
    }
    for(register int o=1;o<=v;o++)
        for(register int i=1;i<=v;i++)
            for(register int j=1;j<=v;j++)
                dis[i][j]=min(dis[i][o]+dis[o][j],dis[i][j]);
    for(register int i=1;i<=v;i++) dis[i][0]=dis[0][i]=dis[i][i]=0;
    for(register int i=0;i<=n;i++)
        for(register int j=0;j<=m;j++) dp[i][j][0]=dp[i][j][1]=inf;
    dp[0][0][0]=0;
    for(register int i=1;i<=n;i++){
        dp[i][0][0]=dp[i-1][0][0]+dis[c[i-1]][c[i]];
        int r=min(i,m);
        for(register int j=1;j<=r;j++){
            dp[i][j][0]=min(dp[i-1][j][1]+(double)dis[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]+
            (double)dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1]),
            dp[i-1][j][0]+(double)dis[c[i-1]][c[i]]);
            dp[i][j][1]=min(dp[i-1][j-1][0]+(double)dis[c[i-1]][d[i]]*k[i]
            +(double)dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i]),
            dp[i-1][j-1][1]+((double)dis[d[i-1]][d[i]]*k[i]*k[i-1])+
            (double)dis[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]*(1-k[i])+
            (double)dis[c[i-1]][d[i]]*(1-k[i-1])*k[i]+
            (double)dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i])*(1-k[i-1]));
//          cout<<dp[i][j][0]<<" "<<dp[i][j][1]<<endl;
        }
    }
    for(register int i=0;i<=m;i++)
        ans=min(dp[n][i][1],min(dp[n][i][0],ans));
    printf("%.2lf",ans);
    return 0;
}