BZOJ 3456: 城市规划(dp+多项式求逆)
解题思路
这道题就是求带标号的无向连通图个数，首先考虑\(O(n^2)\)的做法，设\(f_i\)表示有\(i\)个节点的无向连通图个数，那么考虑容斥，先把所有的无向图求出，即为\(2^{C(n,2)}\)，再减去不联通的情况，而计算不联通情况时可以枚举\(1\)号点这个联通块的大小，就有方程
$$f_i=2{C_i2}-\sum\limits_{j=1}{i-1}C_{i-1}2{C2_{i-j}}f_j$$
发现这样的时间复杂度为\(O(n^2)\)的，无法通过本题。考虑优化，我们设法把左右两边的\(f\)合并，可以给式子同时除一个\((i-1)!\)，可得
\[\frac{f_i}{(i-1)!}=\frac{2^{C_i^2}}{(i-1)!}-\sum\limits_{j=1}^{i-1}\frac{2^{C^2_{i-j}}f_j}{(j-1)!(i-j)!}
\]
发现右边假设\(j\)枚举到\(i\)正好是左边，那么就移项。
\[\sum\limits_{j=1}^i\frac{C^{2}_{i-j}f_j}{(j-1)!(i-j)!}=\frac{2^{C_i^2}}{(i-1)!}
\]
右边是卷积的形式
\[\sum\limits_{j=1}^i\frac{f_j}{(j-1)!}*\frac{2^{C^2_{i-j}}}{(i-j)!}=\frac{2^{C^2_i}}{(i-1)!}
\]
设\(A=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{f_i}{(i-1)!}x^i\)，\(B=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dfrac{2^{C_i^2}}{i!}x^i\)，\(C=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{2^{C_i^2}}{(i-1)!}x^i\)，则
\[A*B=C
\]
\[A=C*B^{-1}
\]
多项式求逆即可，时间复杂度\(O(nlogn)\)
