CF932E Team Work(第二类斯特林数)

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解题思路

　　似乎以前做过这道题的强化版？柿子还是很好推的，都是套路。

\[ans=\sum\limits_{i=1}^nC(n,i)*i^k \]

　　用第二类斯特林数的\(n^m=\sum\limits_{i=0}^mS(m,i)*C(n,i)*i!\)这个式子把后面的\(i^k\)展开得

\[ans=\sum\limits_{i=1}^nC(n,i)\sum\limits_{j=0}^kS(k,j)*C(i,j)*j! \]

　　换一下\(\sum\)顺序

\[ans=\sum\limits_{j=0}^kS(k,j)*j!\sum\limits_{i=1}^nC(n,i)*C(i,j) \]

　　把后面的组合数换一下

\[ans=\sum\limits_{j=0}^kS(k,j)*j!\sum\limits_{i=1}^nC(n,j)*C(n-i,j-i) \]

　　把$C(n,j)提出去，发现剩下的其实是个\(2^{n-j}\)

\[ans=\sum\limits_{j=0}^kS(k,j)*j!*C(n,j)*2^{n-j} \]

　　发现这样就可以求了，组合数的话因为\(j\)从\(0\)到\(k\)，那么\(j\)增加\(1\)的影响就是\(\frac{n-j+1}{j}\)。时间复杂度\(O(n^2)，其实可以做到\)O(nlogn)$，懒得写了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>

using namespace std;
const int N=5005;
const int MOD=1e9+7;
typedef long long LL;

int n,k,fac[N],S[N][N],ans;

inline int fast_pow(int x,int y){
	int ret=1;
	for(;y;y>>=1){
		if(y&1) ret=(LL)ret*x%MOD;
		x=(LL)x*x%MOD;
	}
	return ret;
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);fac[0]=1;S[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=k;i++) fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%MOD;
	for(int i=1;i<=k;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			S[i][j]=(S[i-1][j-1]+(LL)S[i-1][j]*j%MOD)%MOD;
	int C=1,lim=min(n,k);
	for(int i=1;i<=lim;i++){
		C=(LL)C*(n-i+1)%MOD*fast_pow(i,MOD-2)%MOD;
		ans=(ans+(LL)S[k][i]*fac[i]%MOD*C%MOD*fast_pow(2,n-i)%MOD)%MOD;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}