LUOGU P5061 秘密任务(背包+二分图染色)

传送门

解题思路

　　\(orz\)出题人的神仙做法。本蒟蒻看不懂，就水个求补图再二分图染色的方法来\(%1%\)出题人。
　　

　　首先我们对图中\(m\)个关系连边，发现这样是没法做的，因为我们最后要关注的是谁和谁不能在一起，这个限制是比较大的。所以我们考虑建一个补图，就是把原来没有的边加边，原来存在的边断掉。这样\(a\)和\(b\)之间有边就代表\(a\)与\(b\)不能属于一个集合，这样就可能形成了若干个图。首先考虑判合法，因为一共只有两个集合，而每个人都必须放到集合里，关系还可以抽象成一张无向图，自然可以想到二分图染色了。我们只需要遍历每一个联通块，然后进行黑白染色判是否合法，只要有一个联通块不合法，那么也就\(GG\)了。

　　然后考虑算答案，判完合法之后，我们就可以知道一个了联通块中黑色和白色的不能属于一个集合，剩下的可以任意搭配，所以做一个背包就行了，把每个联通块黑色白色的个数记下来。设\(f[i]\)表示一个集合有\(i\)个人是否成立，转移的时候就模仿\(0/1\)背包，就是看每一个联通块是选黑色进去还是选白色进去。做完背包后一个人数合法仅当\(f[i]=f[n-i]=true\)。这样第一问和第二问的答案就统计出来了，对于第三问的答案，然后\(n^2\)枚举一下每对，如果两个人属于同一个联通块但颜色不相同，并且两个人在补图里没边，就使\(ans3++\)，这个也比较好理解，具体实现看代码。
　　

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代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>

using namespace std;
const int MAXN = 2505;
const int MOD = 1e9+7;
typedef long long LL;

inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) f=ch=='-'?0:1,ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	return f?x:-x;
}

int n,m,a[MAXN][MAXN],tot,num,cnt1,cnt2,ans1,ans2,ans3;
int w[MAXN][2],f[MAXN],now[MAXN],col[MAXN],Min;
bool flag;

void dfs(int x,int c){
	col[x]=c;now[++tot]=x;if(c==1) cnt1++;else cnt2++;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(a[i][x]){
			if(col[i]==col[x]) {flag=1;return;}
			if(!col[i]) dfs(i,3-c); 
		}
}

inline int fast_pow(int x,int y){
	int ret=1;
	for(;y;y>>=1){
		if(y&1) ret=(LL)ret*x%MOD;
		x=(LL)x*x%MOD;
	}
	return ret;
}

int main(){
	int x,y;n=rd(),m=rd();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		x=rd(),y=rd();
		a[x][y]=a[y][x]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)	
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(i!=j) a[i][j]^=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(!col[i]){
		cnt1=cnt2=tot=0;memset(now,0,sizeof(now));
		dfs(i,1);if(flag) break;
		for(int j=1;j<=tot;j++)
			for(int k=j+1;k<=tot;k++)
				if(col[now[j]]!=col[now[k]] && !a[now[j]][now[k]]) ans3++; 
		w[++num][0]=cnt1;w[num][1]=cnt2;
	}f[0]=1;
	for(int i=1;i<=num;i++){
		Min=min(w[i][0],w[i][1]);
		for(int j=n;j>=Min;j--){
			if(j>=w[i][0]) f[j]|=f[j-w[i][0]];
			if(j>=w[i][1]) f[j]|=f[j-w[i][1]];	
		}	
	}
	for(int i=0;i<=n/2;i++){
		if(!f[i] || !f[n-i]) continue;
		ans1++;ans2=i;
	}
	if(flag) puts("-1"),ans3=m; //注意一下这里，如果没有方案的话自然$m$对可以合作的人都无法在一个集合里
	else printf("%d %d\n",ans1,(fast_pow(2,n-ans2)-fast_pow(2,ans2)+MOD)%MOD);
	printf("%d\n",ans3);
	return 0;
}