BZOJ 3510: 首都 (lct)

题面

Description

在X星球上有N个国家，每个国家占据着X星球的一座城市。由于国家之间是敌对关系，所以不同国家的两个城市是不会有公路相连的。
X星球上战乱频发，如果A国打败了B国，那么B国将永远从这个星球消失，而B国的国土也将归A国管辖。A国国王为了加强统治，会在A国和B国之间修建一条公路，即选择原A国的某个城市和B国某个城市，修建一条连接这两座城市的公路。
同样为了便于统治自己的国家，国家的首都会选在某个使得其他城市到它距离之和最小的城市，这里的距离是指需要经过公路的条数，如果有多个这样的城市，编号最小的将成为首都。
现在告诉你发生在X星球的战事，需要你处理一些关于国家首都的信息，具体地，有如下3种信息需要处理：
1、A x y：表示某两个国家发生战乱，战胜国选择了x城市和y城市，在它们之间修建公路（保证其中城市一个在战胜国另一个在战败国）。
2、Q x：询问当前编号为x的城市所在国家的首都。
3、Xor：询问当前所有国家首都编号的异或和。
Input

第一行是整数N，M，表示城市数和需要处理的信息数。
接下来每行是一个信息，格式如题目描述（A、Q、Xor中的某一种）。
Output

输出包含若干行，为处理Q和Xor信息的结果。
Sample Input
10 10

Xor

Q 1

A 10 1

A 1 4

Q 4

Q 10

A 7 6

Xor

Q 7

Xor

Sample Output
11

1

1

1

2

6

2

HINT

对于100%的数据，2<=N<=100000，1<=M<=200000。

解题思路

　　\(lct\)维护子树信息。因为根据重心的性质，将两棵树拼起来，重心一定在这两棵树重心的连线上。还有一个性质就是当一棵树增加一个叶节点时，重心最多向叶节点方向移动\(1\)的距离，并且重心为根时的子树大小均小于树的大小\(/2\)。有了这几个性质，那么操作\(1\)就很简单了，我们用启发式合并，连接时\(dfs\) \(siz\)较小的子树，然后每次\(link\)较小的子树的每个节点和它的\(father\)。\(link\)里处理重心，处理重心时，就先\(makeroot\)一下\(siz\)较大子树的根节点，然后\(access\)一下新加入的点。这样就将根节点到新加入节点的路径找见了，也就是确定了一下移动方向。然后在找一下根节点的后继，判断能否移动。还要用并查集维护一下每棵树的\(siz\)和根节点。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>

using namespace std;
const int MAXN = 100005;

inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) {f=ch=='-'?0:1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))  {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
	return f?x:-x;
}

int n,m,ch[MAXN][2],fa[MAXN],SIZ[MAXN];
int siz[MAXN],Siz[MAXN],Xor,F[MAXN],rt[MAXN];
int to[MAXN<<1],nxt[MAXN<<1],head[MAXN],cnt;
bool rev[MAXN];

inline void add(int bg,int ed){
	to[++cnt]=ed,nxt[cnt]=head[bg],head[bg]=cnt;
}

int Find(int x){
	if(F[x]==x) return x;
	return F[x]=Find(F[x]);
}

inline bool isroot(int x){
	return (x!=ch[fa[x]][0] && x!=ch[fa[x]][1]);
}

inline bool check(int x){
	return (x==ch[fa[x]][1]);
}

inline void pushup(int x){
	siz[x]=siz[ch[x][0]]+siz[ch[x][1]]+Siz[x]+1;
}

inline void pushdown(int x){
	if(rev[x]){
		swap(ch[x][0],ch[x][1]);
		if(ch[x][0]) rev[ch[x][0]]^=1;
		if(ch[x][1]) rev[ch[x][1]]^=1;
		rev[x]^=1;
	}
}

void pd(int x){
	if(fa[x]) pd(fa[x]);pushdown(x);
}

inline void rotate(int x){
	int y=fa[x],z=fa[y];bool chk=check(x);
	if(!isroot(y)) ch[z][check(y)]=x;
	ch[y][chk]=ch[x][chk^1];fa[ch[x][chk^1]]=y;
	ch[x][chk^1]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;pushup(y);pushup(x);
}

inline void splay(int x){
	pd(x);
	for(;!isroot(x);rotate(x))
		if(!isroot(fa[x])) rotate(check(fa[x])==check(x)?fa[x]:x);
}

inline void access(int x){
	for(int y=0;x;y=x,x=fa[x]){
		splay(x);if(y) Siz[x]-=siz[y];
		if(ch[x][1]) Siz[x]+=siz[ch[x][1]];
		ch[x][1]=y;pushup(x);	
	}
}

inline void makeroot(int x){
	access(x);splay(x);rev[x]^=1;
}

inline void link(int x,int y){
	makeroot(x);makeroot(y);
	fa[x]=y;Siz[y]+=siz[x];pushup(y);int zz=Find(y);
	makeroot(rt[zz]);access(x);splay(rt[zz]);
	int S=siz[rt[zz]],T=ch[rt[zz]][1];pushdown(T);
	while(ch[T][0]) T=ch[T][0],pushdown(T);
	access(T);
	if((Siz[T]+1)*2>S || (((Siz[T]+1)*2==S) && (T<rt[zz]))) {
		Xor^=rt[zz];Xor^=T;rt[zz]=T;
	} 
}

void dfs(int x,int y){
	ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=rev[x]=0;Siz[x]=0;siz[x]=1;
	link(x,y);int u;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		u=to[i];if(u==y) continue;
		dfs(u,x);
	}
}

int main(){
	n=rd(),m=rd();char s[5];int x,y,u,v;
	for(int i=1;i<=n;i++) siz[i]=SIZ[i]=1,Xor^=i,F[i]=rt[i]=i;
	while(m--){
		scanf("%s",s+1);
		if(s[1]=='A') {
			x=rd(),y=rd();
			u=Find(x);v=Find(y);
			if(SIZ[u]>SIZ[v]) swap(u,v),swap(x,y);
			F[u]=v;SIZ[v]+=SIZ[u];Xor^=rt[u];
			dfs(x,y);add(x,y);add(y,x);
		}
		if(s[1]=='Q') x=rd(),printf("%d\n",rt[Find(x)]);
		if(s[1]=='X') printf("%d\n",Xor);
	}
	return 0;
}