LUOGU P4781 【模板】拉格朗日插值

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解题思路

　　拉格朗日插值。解决的问题就是给出\(n\)次多项式的点值表达式，然后将\(k\)带人求值。其实就是一个非常\(NB\)的公式 ： \(f(x)=\sum\limits_{x=1}^{n+1}y_i*\prod\limits_{i!=j} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}\)。然后就直接把\(k\)带入这个公式就行了。时间复杂度\(O(n^2)\)。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int MAXN = 2005;
const int MOD = 998244353;
typedef long long LL;

inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) {f=ch=='-'?0:1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))  {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
	return f?x:-x;
}

int n,k,x[MAXN],y[MAXN],ans;

inline int fast_pow(int x,int y){
	int ret=1;
	for(;y;y>>=1){
		if(y&1) ret=(LL)ret*x%MOD;
		x=(LL)x*x%MOD;
	}
	return ret;
}

int main(){
	n=rd(),k=rd();
	for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=rd(),y[i]=rd();
	int s1,s2;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		s1=y[i];s2=1;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(i!=j) s1=(LL)s1*(k-x[j]+MOD)%MOD,s2=(LL)s2*(x[i]-x[j]+MOD)%MOD;
		(ans+=(LL)s1*fast_pow(s2,MOD-2)%MOD)%=MOD;
	}
	printf("%d\n",(ans+MOD)%MOD);	
	return 0;
}

　　还有一个\(O(n)\)的做法，给定的点必须是连续的数字。这样的话就可以把分母化简成阶乘相乘的形式，然后分子上处理一个前缀后缀乘积。