线性DP——伴随插入、删除操作
T1编辑距离
题目描述
设 \(A\) 和 \(B\) 是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数，将字符串 \(A\) 转换为字符串 \(B\)。这里所说的字符操作共有三种：
- 删除一个字符；
- 插入一个字符；
- 将一个字符改为另一个字符。
\(A, B\) 均只包含小写字母。
输入格式
第一行为字符串 \(A\)；第二行为字符串 \(B\)；字符串 \(A, B\) 的长度均小于 \(2000\)。
输出格式
只有一个正整数，为最少字符操作次数。
样例 #1
样例输入 #1
sfdqxbw
gfdgw
样例输出 #1
4
提示
对于 \(100 \%\) 的数据，\(1 \le |A|, |B| \le 2000\)。
最近遇到了很多类似这样的题，所以把这些题整理在一起。刚开始我以为这个黄题，可以使用贪心模拟来做，但是贪心是错的，我们来DP考虑
对于修改操作而言，非常好做，因为它不会改变字符串的长度
对于插入和删除操作，插入会增加长度，删除操作会减少长度，对于这样的DP，我们会设定\(dp[i][j]表示将A串前i个位置变成B串前j个位置的最少编辑距离是多少？\)刚开始的想法是，如果我们在A串第i个位置插入字符串之后，A串的i+1个位置就变化了，这怎么DP呢？
做这种题的宗旨是无论插入、删除操作，我们不要让插入和删除操作影响原来的位置关系
对于这道题而言，假设\(a[i]==b[j]，那么f[i][j]=f[i-1][j-1]，如果a[i]!=b[j]呢，我们需要进行插入、删除和修改操作，如果我们进行插入操作，那么b[j]就要和插入的字符匹配，a[i]和b[j-1]进行匹配，f[i][j]=f[i][j-1]+1，如果我们进行的是删除操作呢，b[j]和a[i-1]就匹配好了，所以f[i][j]=f[i-1][j]+1,如果是修改操作的话，就更简单了，f[i][j]=f[i-1][j-1]+1,这个题就做完了\)
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[2005],t[2005];
int f[2005][2005];
int main(){
scanf("%s%s",s+1,t+1);
int n=strlen(s+1);
int m=strlen(t+1);
memset(f,0x3f,sizeof f);
f[0][0]=0;//边界，假设只有一个字符
for(int i=1;i<=n;i++)
f[i][0]=i;// 需要进行i次删除操作
for(int i=1;i<=m;i++)
f[0][i]=i;// 需要进行i次添加操作
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
if(s[i]==t[j]) f[i][j]=f[i-1][j-1];
else{
f[i][j]=min(f[i-1][j]+1,f[i][j-1]+1);
f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
}
}
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}
T2 [CCPC 2023 北京市赛] 广播
题目描述
小 I 正在学习使用 Pytorch。这是一个非常热门的用于机器学习训练的 Python 库。
小 I 注意到，Pytorch 中对于张量运算有称作“广播”(broadcast)的机制。你可以认为张量是高维数组。对于一个 \(k\) 维张量 \(A\)，我们用长度为 \(k\) 的序列 \((a_1,a_2,\cdots,a_k)\) 表示其各个维度的长度，也就是说 \(A\) 是一个 \(a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_k\) 的张量。
对于两个张量 \(A\) 和 \(B\)，设它们的维度分别为 \((a_1,a_2,\cdots,a_m)\) 和 \((b_1,b_2,\cdots,b_n)\)，称 \(A\) 和 \(B\) 是 可广播的，当且仅当以下性质成立：
- 对于任意整数 \(0 \le i \le \min(n,m) - 1\)，要么 \(a_{m-i} = b_{n-i}\)，要么 \(a_{m-i}\) 和 \(b_{n-i}\) 中至少有一个是 \(1\)。
现在小 I 有两个张量，它们的维度分别是 \((p_1,p_2,\cdots,p_m)\) 和 \((q_1,q_2,\cdots,q_n)\)，它们不一定是可广播的。
为此，小 I 可以使用 Pytorch 内置的函数进行若干次操作（可以不做操作），每次操作对序列 \(p\) 或 \(q\) 进行以下修改：
- 选择 \(p\) 或 \(q\)，在选定序列的任意一个位置插入一个 \(1\)。
小 I 想知道他最少要多少次操作才能让两个张量变为可广播的。
输入格式
输入的第一行两个整数 \(m,n(1 \le m,n \le 2000)\) 表示两个张量的维度。
第二行 \(m\) 个整数 \(p_1,p_2,\cdots,p_m (1 \le p_i \le 2000)\) 描述第一个张量每个维度的长度。
第三行 \(n\) 个整数 \(q_1,q_2,\cdots,q_n (1 \le q_i \le 2000)\) 描述第二个张量每个维度的长度。
输出格式
输入一行一个整数表示最少的插入 \(1\) 的数量使得两个张量变为可广播的。
样例 #1
样例输入 #1
4 2
2 1 3 2
4 2
样例输出 #1
1
提示
在序列 \(q\) 的第二个位置之前插入一个 \(1\)（得到 4 1 2），两个张量就会变为可广播的。
题解
题目中描述的比较复杂，其实我们只要把两个数组翻转过来就可以了，这样这个题的本质是通过插入1来实现配对，\(f[i][j]表示A串的前i个和B串的前j个匹配好的最小代价，如果在第i个位置添加1，那么这个1一定适合b[j]进行匹配，f[i][j]=f[i][j-1]+1,如果在第j个位置添加1，那么这个1一定是和a[i]进行匹配，所以f[i][j]=f[i-1][j]+1,这个题的状态转移就完成了，最终答案是什么呢？min(f[i][m],f[n][i])\)
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2005;
int m,n,a[maxn],b[maxn],f[maxn][maxn],ans=2005;
int main(){
scanf("%d%d",&m,&n);
for(int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&b[i]);
reverse(a+1,a+1+m);
reverse(b+1,b+1+n);
if(m>n){
swap(m,n);
swap(a,b);
}
a[m+1]=-1;
b[n+2]=-2;
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
f[i][j]=2005;
f[0][0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
f[0][i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++)
f[i][0]=i;
for(int i=1;i<=m+1;i++)
for(int j=1;j<=n+1;j++){
if(a[i]==b[j]||(a[i]==1||b[j]==1)) f[i][j]=f[i-1][j-1];
else{
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][j-1]+1);
f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j]+1);
}
}
for(int i=0;i<=n;i++){
ans=min(ans,f[m][i]);
}
for(int i=0;i<=m;i++){
ans=min(ans,f[i][n]);
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
T3 回文
题目描述
从前有一个萌萌哒的由小写字母构成的字符串S。但它觉得如果自己不是回文串的话就非常无聊，所以它想要添加一些字符，使自己变成回文串。
添加每种字符都会有“1”的代价。
它想知道将自己变成回文串的最小代价。但因为字符串不会写代码，所以它把这个任务交给了你。
题解
这个题是通过添加字符的方式，使得字符串变成回文串，我们知道回文一定是一个区域，所以我们设\(f[i][j]表示使得i和j之间变成回文添加字符的最小代价，既然是区域问题，肯定是由小变大，所以这个类似于区间dp的形式，假设a[i]==b[j],那么f[i][j]=f[i+1][j-1],如果a[i]!=b[j]呢？这个时候就需要通过添加的方式使其变成回文，无非是需要在i和j两个位置添加，如果在j这个位置添加，那么i+1到j的位置已经构成回文，j位置添加的字符和a[i]构成回文，如果在i这个位置添加，那么f[i][j]=f[i][j-1]+1,也就是说在第i个位置添加的是a[j]，这样，这个题就做完了\)
修改
如果我们在这个题中加入了删除操作，该怎么弄？
\(本质上删除操作，其实和插入操作大体一致，假设删除a[i],则i+1到j构成回文，假设删除a[j],则i到j-1构成回文\)
相关的题目是oj 回文2(辽宁考试)
