[NOIP2022] 种花

题目描述

小 C 决定在他的花园里种出 \(\texttt{CCF}\) 字样的图案，因此他想知道 \(\texttt C\) 和 \(\texttt F\) 两个字母各自有多少种种花的方案；不幸的是，花园中有一些土坑，这些位置无法种花，因此他希望你能帮助他解决这个问题。

花园可以看作有 \(n\times m\) 个位置的网格图，从上到下分别为第 \(1\) 到第 \(n\) 行，从左到右分别为第 \(1\) 列到第 \(m\) 列，其中每个位置有可能是土坑，也有可能不是，可以用 \(a_{i,j} = 1\) 表示第 \(i\) 行第 \(j\) 列这个位置有土坑，否则用 \(a_{i,j} = 0\) 表示这个位置没土坑。

一种种花方案被称为 \(\texttt{C-}\) 形的，如果存在 \(x_1, x_2 \in [1, n]\)，以及 \(y_0, y_1, y_2 \in [1, m]\)，满足 \(x_1 + 1 < x_2\)，并且 \(y_0 < y_1, y_2 \leq m\)，使得第 \(x_1\) 行的第 \(y_0\) 到第 \(y_1\) 列、第 \(x_2\) 行的第 \(y_0\) 到第 \(y_2\) 列以及第 \(y_0\) 列的第 \(x_1\) 到第 \(x_2\) 行都不为土坑，且只在上述这些位置上种花。

一种种花方案被称为 \(\texttt{F-}\) 形的，如果存在 \(x_1, x_2, x_3 \in [1, n]\)，以及 \(y_0, y_1, y_2 \in [1, m]\)，满足 \(x_1 + 1 < x_2 < x_3\)，并且 \(y_0 < y_1, y_2 \leq m\)，使得第 \(x_1\) 行的第 \(y_0\) 到第 \(y_1\) 列、第 \(x_2\) 行的第 \(y_0\) 到第 \(y_2\) 列以及第 \(y_0\) 列的第 \(x_1\) 到第 \(x_3\) 行都不为土坑，且只在上述这些位置上种花。

样例一解释中给出了 \(\texttt{C-}\) 形和 \(\texttt{F-}\) 形种花方案的图案示例。

现在小 C 想知道，给定 \(n, m\) 以及表示每个位置是否为土坑的值 \(\{a_{i,j}\}\)，\(\texttt{C-}\) 形和 \(\texttt{F-}\) 形种花方案分别有多少种可能？由于答案可能非常之大，你只需要输出其对 \(998244353\) 取模的结果即可，具体输出结果请看输出格式部分。

输入格式

第一行包含两个整数 \(T, id\)，分别表示数据组数和测试点编号。如果数据为样例则保证 \(id = 0\)。

接下来一共 \(T\) 组数据，在每组数据中：

第一行包含四个整数 \(n, m, c, f\)，其中 \(n, m\) 分别表示花园的行数、列数，对于 \(c, f\) 的含义见输出格式部分。

接下来 \(n\) 行，每行包含一个长度为 \(m\) 且仅包含 \(0\) 和 \(1\) 的字符串，其中第 \(i\) 个串的第 \(j\) 个字符表示 \(a_{i,j}\)，即花园里的第 \(i\) 行第 \(j\) 列是不是一个土坑。

输出格式

设花园中 \(\texttt{C-}\) 形和 \(\texttt{F-}\) 形的种花方案分别有 \(V_C\) 和 \(V_F\) 种，则你需要对每一组数据输出一行用一个空格隔开的两个非负整数，分别表示 \((c \times V_C) \bmod 998244353\)，\((f \times V_F ) \bmod 998244353\) ，其中 \(a \bmod P\) 表示 \(a\) 对 \(P\) 取模后的结果。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

4 2

提示

【样例 1 解释】

四个 \(\texttt{C-}\) 形种花方案为：

**1 **1 **1 **1
*10 *10 *10 *10
**0 *** *00 *00
000 000 **0 ***

其中 \(\texttt*\) 表示在这个位置种花。注意 \(\texttt C\) 的两横可以不一样长。

类似的，两个 \(\texttt{F-}\) 形种花方案为：

**1 **1
*10 *10
**0 ***
*00 *00

【样例 2】

见附件下的 \(\texttt{plant/plant2.in}\) 与 \(\texttt{plant/plant2.ans}\)。

【样例 3】

见附件下的 \(\texttt{plant/plant3.in}\) 与 \(\texttt{plant/plant3.ans}\)。

【数据范围】

对于所有数据，保证：\(1 \leq T \leq 5\)，\(1 \leq n, m \leq 10^3\)，\(0 \leq c, f \leq 1\)，\(a_{i,j} \in \{0, 1\}\)。

测试点编号	\(n\)	\(m\)	\(c=\)	\(f=\)	特殊性质	测试点分值
\(1\)	\(\leq 1000\)	\(\leq 1000\)	\(0\)	\(0\)	无	\(1\)
\(2\)	\(=3\)	\(=2\)	\(1\)	\(1\)	无	\(2\)
\(3\)	\(=4\)	\(=2\)	\(1\)	\(1\)	无	\(3\)
\(4\)	\(\leq 1000\)	\(=2\)	\(1\)	\(1\)	无	\(4\)
\(5\)	\(\leq 1000\)	\(\leq 1000\)	\(1\)	\(1\)	A	\(4\)
\(6\)	\(\leq 1000\)	\(\leq 1000\)	\(1\)	\(1\)	B	\(6\)
\(7\)	\(\leq 10\)	\(\leq 10\)	\(1\)	\(1\)	无	\(10\)
\(8\)	\(\leq 20\)	\(\leq 20\)	\(1\)	\(1\)	无	\(6\)
\(9\)	\(\leq 30\)	\(\leq 30\)	\(1\)	\(1\)	无	\(6\)
\(10\)	\(\leq 50\)	\(\leq 50\)	\(1\)	\(1\)	无	\(8\)
\(11\)	\(\leq 100\)	\(\leq 100\)	\(1\)	\(1\)	无	\(10\)
\(12\)	\(\leq 200\)	\(\leq 200\)	\(1\)	\(1\)	无	\(6\)
\(13\)	\(\leq 300\)	\(\leq 300\)	\(1\)	\(1\)	无	\(6\)
\(14\)	\(\leq 500\)	\(\leq 500\)	\(1\)	\(1\)	无	\(8\)
\(15\)	\(\leq 1000\)	\(\leq 1000\)	\(1\)	\(0\)	无	\(6\)
\(16\)	\(\leq 1000\)	\(\leq 1000\)	\(1\)	\(1\)	无	\(14\)

特殊性质 A：\(\forall 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq \left\lfloor \frac{m}{3} \right\rfloor\)，\(a_{i, 3 j} = 1\)；

特殊性质 B：\(\forall 1 \leq i \leq \left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor, 1 \leq j \leq m\)，\(a_{4 i, j} = 1\)；

题解

这个题是独立做出来的绿题，非常开心
我们来看C的方案，观察样例就知道，对于C的两个顶点，我们需要知道每个顶点右面有几个零，如果知道这点，我们只需要使用乘法原理即可
对于（i，j）这个格子，我们怎么统计他右面有几个零？
刚开始我的方法是暴力维护，暴力维护的时间复杂度太高，我一直T的原因就在这里，后面我进行了修改，倒序枚举，从第m列开始，如果这个格子的数字是0，那么xh[i][j]=xh[i][j+1]+1，否则xh[i][j]=0，当然，我们也需要统计向上有多少个？方法是同样的。

那么我们怎么找C的方案数？我们发现在竖的方向上，至少存在3个连续的0，同时他们右面有多个0，我们是可以有C方案的，可以暴力统计，但是我发现，这个可以递推，用lst[i][j]记录在连续的0里面，目前匹配的数量是多少？如果当然(i,j)连续0的数量符合条件，那么前lst[i-2][j]是符合条件的，也就是说，和(i-2,j)匹配的，一定和他匹配，同时需要加上(i-2,j) 的向右数量，否则，匹配数量为0，同时更新lst[i][j],如何更新lst[i][j]呢？lst[i][j]默认等于lst[i-1][j]，如果他自己也能匹配，加上自己向右的数量即可

经过上述过程，记录到pp[i][j]表示前面有多少个匹配数量，直接和0的数量相乘即可，那么C的问题就解决了

C的问题解决了之后，F的问题也就好解决了，因为F正好是C加上1个0，这个想法也是我偶然想到的，不得不说，这题出的实在是妙，我们记录C方案的前缀和即可

反思

对于我来说，最难的部分是对于(i,j)找匹配的问题，考虑到会出现如下的情况
0000
01
01
00000
那么我记录了一下上次的匹配好的位置，如果这次能匹配，那么递推一下，把上次匹配的数量加上他右面的连续0的数量，如果上次的位置和i的距离超过2，那么按照上述的方法来实现，如果遇到这种情况，上次匹配的位置是上一个，那么把前一个的匹配直接加上(i-2,j)的向右的数量
00000
0000
000
00
同时，我如何记录上一个位置呢？以列尾单位，用lst[j]记录了前一个位置，如果等于1，那么lst[j]归零，

点击查看代码

lst[1]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                if(s[i][j]=='0'){
                    if(xs[i][j]>=3&&xh[i][j]>=2){
                        if(i-lst[j]>=2) pp[i][j]=pp[lst[j]][j]+xh[lst[j]][j]-1;
                        else {
                            int d=lst[j];
                            pp[i][j]=pp[lst[j]][j];
                            if(d<1) continue;
                            if(xh[d-1][j]>=2) pp[i][j]+=xh[d-1][j]-1;
                        }
                    }
                    if(xh[i][j]>=2) lst[j]=i;
                }else{
                    lst[j]=0;
                }
                
            }
        }

这样的实现方法是错误的，为什么？例如下面的例子 00000 0000 01 0000 lst是第2行，匹配数量等于2行的匹配，但是第1行也可以匹配，算法做不到 0000 所以这么写是错误的 ## 代码实现