[NOIP2023] 词典

题目描述

小 S 的词典里有 \(n\) 个两两不同的、长度均为 \(m\) 的单词 \(w_1,w_2,\cdots,w_n\)。每个单词都是一个小写字母构成的字符串。

小 S 可以做以下操作任意多次（可以不做）：选择词典中的任意一个单词，交换其中任意两个字符。

对于每个 \(1 \le i \le n\)，小 S 想知道，是否可以通过以上操作得到新的 \(n\) 个单词 \(w'_1,w'_2,\cdots , w'_n\)，使得对于每个 \(j \neq i\)，\(w'_i\) 的字典序比 \(w'_j\) 都要小。对于 \(n=1\) 的情况，我们约定：上述性质是自然成立的。

对于两个同样长度的字符串 \(s = s_1s_2\cdots s_L\) 和 \(t = t_1t_2 \cdots t_L\)，称字符串 \(s\) 字典序小于字符串 \(t\)，当且仅当以下条件成立：存在位置 \(i\)，在第 \(i\) 个字符之前 \(s\) 和 \(t\) 都相同，而且 \(s_i < t_i\)，即小写字母 \(s_i\) 在英文字母顺序中先于 \(t_i\)。

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 \(n\) 和 \(m\)，分别表示单词个数和单词长度。

接下来 \(n\) 行，每行包含一个长度为 \(m\) 的小写字母字符串 \(w_i\)， 表示一个单词。

输出格式

输出一行，其中包含一个长度为 \(n\) 的 01 字符串 \(a\)；对于 \(1 \le i \le n\)，如果题目描述中的性质成立，则 \(a_i =\) 1，否则 \(a_i =\) 0。

样例 #1

样例输入 #1

4 7
abandon
bananaa
baannaa
notnotn

样例输出 #1

1110

提示

【样例解释 #1】

• 不做任何操作，第一个单词字典序最小，因此输出第一个字符为 1；
• 交换 bananaa 的前两个字符以及 abandon 的第三个和第六个字符，得到 abondan, abnanaa, baannaa, notnotn，此时第二个单词字典序最小，因此输出第二个字符为 1；
• 交换 baannaa 的第一个和最后一个字符得到 aaannab，其余字符串不变，此时第三个单词字典序最小，因此输出第三个字符为 1；
• 无论如何操作，第四个单词不会小于第二个单词，因此输出第四个字符为 0。

【样例解释 #2】

该组样例满足测试点 \(4\) 的限制。

【样例解释 #3】

该组样例满足测试点 \(7\) 的限制。

【样例解释 #4】

该组样例满足测试点 \(10\) 的限制。

【数据范围】

对于所有测试数据，保证：\(1 \le n \le 3000\)，\(1 \le m \le 3000\)，\(w_i\) 为长度为 \(m\) 的小写字母字符串且两两不同。

测试点编号	\(n\leq\)	\(m\leq\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(2\sim 4\)	\(26\)	\(1\)
\(5\sim 7\)	\(15\)	\(2\)
\(8\)	\(300\)	\(300\)
\(9\)	\(10^3\)	\(10^3\)
\(10\)	\(3000\)	\(3000\)

题解

这个题不难，我们只需要把每个串从小到达排ns和从大到小排序即可，然后我们在比较i的时候，只需要将i的小串ns和j的大串进行比较即可，但是这样写的时间复杂度是\(O(n^2m)\)，显然这样是过不去的，但是CCF的数据比较水，这个时间复杂度过去了

既然这样的时间复杂度不对，我们寻找正确的时间复杂度，比较巧妙的写法是我们可以省去字符串比较的部分，如果ns和xs比较的过程中，我们其实没有必要比较m个长度，只需要比较第一个字符即可，为什么？如果第一个字符ns比较小，那么肯定ns比较小，如果ns比较大的话，那么肯定ns大，如果两者相同，那么肯定ns比较大，因为ns是从小到大排的，而xs是从大到小排的，只比较一个字符的话，我们就把时间复杂度省下了

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=3005;
int n,m;
char s[maxn][maxn];
char xs[maxn],ns[maxn];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",s[i]+1);
        xs[i]=ns[i]=s[i][1];
        for(int j=2;j<=m;j++){
            xs[i]=max(xs[i],s[i][j]);
            ns[i]=min(ns[i],s[i][j]);
        }
            
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        bool flag=true;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i==j) continue;
            if(ns[i]>=xs[j]){//如果最小的
                flag=false;
                break;
            }
        }
        if(flag==true) printf("1");
        else printf("0");
    }
    return 0;
}

但是这个题到这里还没有结束，既然CCF造的数据比较水，那么怎么造数据能卡掉第一种做法呢？
比如下列两个单词
2222222222221
2222222222225，类似于这样的单词就不行，尽管我知道这样的单词容易卡住，但是造数据却是不好造，为什么？
想要卡住\(O(n^2m)\)的做法，最好n和m都是3000，同时如果只造一个小的，其他都是大的，这样的话，只有一个时间复杂度是nm，其他的还都不行，对于这种前面相同的，后面不同的情况，我们最多能让n/2个小的，n/2个大的，这样比较的时间复杂度是最大的，但是这个题要求每个单词还不同，如果我们造1500个小的，最多只有26个字符，根据鸽巢原理，这里必定有很多重复的，除非你让前面相同的个数不一样，但是这样造又太麻烦，下次讲这个题的时间，让学生造一下这个数据