# [省选联考 2021 B 卷] 数对

题目描述

给定 \(n\) 个正整数 \(a_i\)，请你求出有多少个数对 \((i, j)\) 满足 \(1 \le i \le n\)，\(1 \le j \le n\)，\(i \ne j\) 且 \(a_i\) 是 \(a_j\) 的倍数。

输入格式

第一行，一个整数 \(n\)，表示数字个数。
第二行，\(n\) 个整数，表示 \(a_i\)。

输出格式

输出一行，一个整数，表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

6
16 11 6 1 9 11

样例输出 #1

7

样例 #2

样例输入 #2

见附件中的 pair/pair2.in。

样例输出 #2

见附件中的 pair/pair2.ans。

提示

对于 \(40 \%\) 的数据，\(n \le 1000\)。
对于 \(70 \%\) 的数据，\(1 \le a_i \le 5 \times {10}^3\)。
对于 \(100 \%\) 的数据，\(2 \le n \le 2 \times {10}^5\)，\(1 \le a_i \le 5 \times {10}^5\)。

题解

对于这道题而言，我们首先想到的是枚举i和j，但是这样的枚举时间复杂度是\(O(n^2)\)，根本过不去

根据套路，遇到约数问题，我们首先想到倍数问题，所以对于每个数，我们枚举他的倍数，同时将每个数存在桶里，这样就可以了，但是如果有1的话，所有的数都是他的倍数，所以1单独处理，同时1倍关系就是自己本身，所以也是单独处理

点击查看代码

for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]==1) continue;
        for(int k=2;k<=mx/a[i];k++)
            if(b[k*a[i]]) ans+=b[k*a[i]];

这样的代码，我过了这个题，但是我觉得这个时间复杂度是不对的，那这个时间复杂度具体是怎么分析呢？

这么分析，我么可以借鉴埃氏筛的时间复杂度分析，这个题简化起来，对于每一个小于等于mx的数，将其所有的倍数枚举一遍，时间复杂度为\(O(\sum_{i=1}^{n}\frac{mx}{a[i]})\)，这样的时间复杂度为\(O(mxlog{mx})\)，但是有一个前提是这些数都各不相同，如果都相同的话就不行，比如有1000个数字，前面都是2，最后一个数字是1000，这样的时间复杂度就是错的，所以我们在这样做之前，需要去重

这道题对我来说，最大的启示是时间复杂度的分析，当时没有想到埃氏筛相关，同时对去重的问题，之前也不知道。