FCM聚类算法介绍

FCM算法是一种基于划分的聚类算法，它的思想就是使得被划分到同一簇的对象之间相似度最大，而不同簇之间的相似度最小。模糊C均值算法是普通C均值算法的改进，普通C均值算法对于数据的划分是硬性的，而FCM则是一种柔性的模糊划分。在介绍FCM具体算法之前我们先介绍一些模糊集合的基本知识。

1 模糊集基本知识

首先说明隶属度函数的概念。隶属度函数是表示一个对象x隶属于集合A的程度的函数，通常记做μA(x)，其自变量范围是所有可能属于集合A的对象（即集合A所在空间中的所有点），取值范围是[0,1]，即0<=μ_A(x)<=1。μA(x)=1表示x完全隶属于集合A，相当于传统集合概念上的x∈A。一个定义在空间X={x}上的隶属度函数就定义了一个模糊集合A，或者叫定义在论域X={x}上的模糊子集。对于有限个对象x1，x2，……，xn模糊集合可以表示为：

（6.1)

有了模糊集合的概念，一个元素隶属于模糊集合就不是硬性的了，在聚类的问题中，可以把聚类生成的簇看成模糊集合，因此，每个样本点隶属于簇的隶属度就是[0，1]区间里面的值。

2 K均值聚类算法(HCM，K-Means)介绍

K均值聚类（K-Means），即众所周知的C均值聚类，已经应用到各种领域。它的核心思想如下：算法把n个向量xj(1,2…,n)分为c个组Gi(i=1,2,…,c)，并求每组的聚类中心，使得非相似性（或距离）指标的价值函数（或目标函数）达到最小。当选择欧几里德距离为组j中向量xk与相应聚类中心ci间的非相似性指标时，价值函数可定义为：

(6.2)

这里是组i内的价值函数。这样Ji的值依赖于Gi的几何特性和ci的位置。

一般来说，可用一个通用距离函数d(xk,ci)代替组I中的向量xk，则相应的总价值函数可表示为：

(6.3)

为简单起见，这里用欧几里德距离作为向量的非相似性指标，且总的价值函数表示为（6.2）式。

划分过的组一般用一个c×n的二维隶属矩阵U来定义。如果第j个数据点xj属于组i，则U中的元素uij为1；否则，该元素取0。一旦确定聚类中心ci，可导出如下使式（6.2）最小uij：

(6.4)

重申一点，如果ci是xj的最近的聚类中心，那么xj属于组i。由于一个给定数据只能属于一个组，所以隶属矩阵U具有如下性质：

(6.5)

且

(6.6)

另一方面，如果固定uij则使（6.2）式最小的最佳聚类中心就是组I中所有向量的均值：

(6.7)

这里|Gi|是Gi的规模或。

为便于批模式运行，这里给出数据集xi（1，2…，n）的K均值算法；该算法重复使用下列步骤，确定聚类中心ci和隶属矩阵U：

步骤1：初始化聚类中心ci,i=1,…,c。典型的做法是从所有数据点中任取c个点。

步骤2：用式（6.4）确定隶属矩阵U。

步骤3：根据式（6.2）计算价值函数。如果它小于某个确定的阀值，或它相对上次价值函数质的改变量小于某个阀值，则算法停止。

步骤4：根据式（6.5）修正聚类中心。返回步骤2。

该算法本身是迭代的，且不能确保它收敛于最优解。K均值算法的性能依赖于聚类中心的初始位置。所以，为了使它可取，要么用一些前端方法求好的初始聚类中心；要么每次用不同的初始聚类中心，将该算法运行多次。此外，上述算法仅仅是一种具有代表性的方法；我们还可以先初始化一个任意的隶属矩阵，然后再执行迭代过程。

K均值算法也可以在线方式运行。这时，通过时间平均，导出相应的聚类中心和相应的组。即对于给定的数据点x，该算法求最近的聚类中心ci，并用下面公式进行修正：

(6.8)

这种在线公式本质上嵌入了许多非监督学习神经元网络的学习法则。

3 模糊C均值聚类

模糊C均值聚类（FCM），即众所周知的模糊ISODATA，是用隶属度确定每个数据点属于某个聚类的程度的一种聚类算法。1973年，Bezdek提出了该算法，作为早期硬C均值聚类（HCM）方法的一种改进。

FCM把n个向量xi（i=1,2,…,n）分为c个模糊组，并求每组的聚类中心，使得非相似性指标的价值函数达到最小。FCM与HCM的主要区别在于FCM用模糊划分，使得每个给定数据点用值在0，1间的隶属度来确定其属于各个组的程度。与引入模糊划分相适应，隶属矩阵U允许有取值在0，1间的元素。不过，加上归一化规定，一个数据集的隶属度的和总等于1：