Congruence relation 同余关系
https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E9%A4%98%E9%97%9C%E4%BF%82
在数学特别是抽象代数中,同余关系或简称同余是相容于某个代数运算的等价关系。
目录
模算术
元型例子是模算术:对于一个正整数n,两个整数a和b被称为同余模n,如果a − b整除于n(还有一个等价的条件是它们除以n得出同样的余数)。
例如,5和11同余模3:
- 11 ≡ 5 (mod 3)
因为11 − 5得出6,它整除于3。或者等价的说,这两个数除以3得到相同的余数:
- 11 = 3×3 + 2
- 5 = 1×3 + 2
如果
线性代数
对称矩阵有实数特征值。对称矩阵的“惯性”是由正特征值的数目、零特征值的数目和负特征值的数目组成的三元组。Sylvester惯性定律声称两个对称实数矩阵是合同的,当且仅当它们有相同的惯性。所以,全等变换可以改变矩阵的特征值但不能改变特征值的符号。
对于复数矩阵,必须区分“T合同”(A和B是T合同,如果有可逆矩阵P使得PTAP = B)和“*合同”(A和B是*合同,如果有可逆矩阵P使得P*AP = B)。
泛代数
想法是推广到泛代数中:代数A上的同余关系是直积A×A的子集,它既是在A上的等价关系又是A×A的子代数。
同态的核总是同余。实际上,所有同余引起自核。对于给定在A上的同余~,等价类的集合A/~可以自然的方式给出自代数的结构商代数。映射所有A的元素到它的等价类的函数是同态,这个同态的核是~。
群的同余、正规子群和理想
在群的特殊情况下,同余关系可以用基本术语描述为:如果G是群(带有单位元e)并且~是在G上的二元关系,则~是同余只要:
- 给定G的任何元素a,a ~ a(自反关系)。
- 给定G任何的元素a和b,如果a ~ b,则b ~ a(对称关系)。
- 给定G的任何元素a,b和c,如果a ~ b 并且b ~ c,则a ~ c(传递关系)。
- 给定G的任何元素a,a',b和b' ,如果a ~ a' 并且b ~ b' ,则a * b ~ a' * b' 。
- 给定G的任何元素a和a' ,如果a ~ a' ,则a−1 ~ a' −1(这个条件可以从其他四个条件证明,所以严格上是冗余的)。
条件1, 2和3声称~是等价关系。
同余~完全确定自G的同余于单位元的那些元素的集合{a ∈ G : a ~ e},而这个集合是正规子群。特别是,a ~ b当且仅当b−1 * a ~ e。所以替代谈论在群上同余,人们通常以正规子群的方式谈论它们;事实上,所有同余都唯一的对应于G的某个正规子群。
环理想和一般情况的核
类似的技巧允许谈论环中的核为理想来替代同余关系,在模理论中为子模来替代同余关系。
这个技巧不适用于幺半群,所以同余关系的研究在幺半群理论扮演更中心的角色。
=============================
同余运算及其基本性质
100除以7的余数是2,意思就是说把100个东西七个七个分成一组的话最后还剩2个。余数有一个严格的定义:假如被除数是a,除数是 b(假设它们均为正整数),那么我们总能够找到一个小于b的自然数r和一个整数m,使得a=bm+r。这个r就是a除以b的余数,m被称作商。我们经常用 mod来表示取余,a除以b余r就写成a mod b = r。
如果两个数a和b之差能被m整除,那么我们就说a和b对模数m同余(关于
m同余)。比如,100-60除以8正好除尽,我们就说100和60对于模数8同余。它的另一层含义就是说,100和60除以8的余数相同。a和b对m同
余,我们记作a≡b(mod m)。比如,刚才的例子可以写成100≡60(mod 8)。你会发现这种记号到处都在用,比如和数论相关的书中就经常把a
mod 3 = 1写作a≡1(mod 3)。
之所以把同余当作一种运算,是因为同余满足运算的诸多性质。比如,同余满足等价关系。具体地说,它满足自反性(一个数永远和自己同余)、对称性(a和b同余,b和a也就同余)和传递性(a和b同余,b和c同余可以推出a和c同余)。这三个性质都是显然的。
同
余运算里还有稍微复杂一些的性质。比如,同余运算和整数加减法一样满足“等量加等量,其和不变”。小学我们就知道,等式两边可以同时加上一个相等的数。例
如,a=b可以推出a+100=b+100。这样的性质在同余运算中也有:对于同一个模数m,如果a和b同余,x和y同余,那么a+x和b+y也同余。在
我看来,这个结论几乎是显然的。当然,我们也可以严格证明这个定理。这个定理对减法同样有效。
性质:如果a≡b(mod m),x≡y(mod m),则a+x≡b+y(mod m)。
证
明:条件告诉我们,可以找到p和q使得a-mp = b-mq,也存在r和s使得x-mr = y-ms。于是a-mp + x-mr = b-mq +
y-ms,即a+x-m(p+r) = b+y-m(q+s),这就告诉我们a+x和b+y除以m的余数相同。
容易想到,两个同余式对应相乘,同余式两边仍然相等:
如果a≡b(mod m),x≡y(mod m),则ax≡by(mod m)。
证明:条件告诉我们,a-mp = b-mq,x-mr = y-ms。于是(a-mp)(x-mr) = (b-mq)(y-ms),等式两边分别展开后必然是ax-m(…) = by-m(…)的形式,这就说明ax≡by(mod m)。
现在你知道为什么有的题要叫你“输出答案mod xxxxx的结果”了吧,那是为了避免高精度运算,因为这里的结论告诉我们在运算过程中边算边mod和 算完后再mod的结果一样。假如a是一个很大的数,令b=a mod m,那么(a * 100) mod m和(b * 100) mod m的结果是完全一样的,这相当于是在a≡b (mod m)的两边同时乘以100。这些结论其实都很显然,因为同余运算只关心余数(不关心“整的部分”),完全可以每一次运算后都只保留余数。因此,整个运算过 程中参与运算的数都不超过m,避免了高精度的出现。
在证明Fermat小定理时,我们用到了这样一个定理:
如果ac≡bc(mod m),且c和m互质,则a≡b(mod m) (就是说同余式两边可以同时除以一个和模数互质的数)。
证明:条件告诉我们,ac-mp = bc-mq,移项可得ac-bc = mp-mq,也就是说(a-b)c = m(p-q)。这表明,(a-b)c里需要含有因子m,但c和m互质,因此只有可能是a-b被m整除,也即a≡b(mod m)。
可能以后还要用到更多的定理,到时候在这里更新。
Matrix67原创
转贴请注明出处
===================================
https://market.cloud.edu.tw/content/senior/math/tn_t2/math05/math_magic/1/1-2.htm
如果这篇文章帮助到了你,你可以请作者喝一杯咖啡
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/938105/202010/938105-20201013171833350-276632012.png)