上界、下界与确界:Ο/Ω/Θ/ο/ω之间的区别
一、概述
Ο,读音:big-oh;表示上界,小于等于。
Ω,读音:big omega、欧米伽;表示下界,大于等于。
Θ,读音:theta、西塔;既是上界也是下界,称为确界,等于。
ο,读音:small-oh;表示上界,小于。
ω,读音:small omega;表示下界,大于。
Ο是渐进上界,Ω是渐进下界。Θ需同时满足大Ο和Ω,故称为确界。Ο极其有用,因为它表示了最差性能。
二、对常见的Ο和Ω进行分析
2.1 大O表示法
大O是我们在分析算法复杂度时最常用的一种表示法。
f(x) = O(g(x)) 表示的含义是f(x)以g(x)为上界
当函数的大小只有上界,没有明确下界的时候,则可以使用大O表示法,该渐进描述符一般用于描述算法的 最坏复杂度。
f(x) = O(g(x))正式的数学定义:存在正常数c、n、n0,当 n>n0 的时,任意的 f(n) 符合 0 <= f(n) <= c.g(n)。如下图所示
我们在分析各种排序算法时,一般都使用大O来表现算法的性能。当然,我们这里以一个很简单的嵌套循环为例,在分析这种简单算法的复杂度时,我们通常计算其中 关键步骤的执行次数 作为此算法的时间复杂度。
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = i; j < n; j++) {
... // 关键步骤
}
}
该算法外层执行了 n 次循环,如果内层也是 n 次循环,我们便可知道该算法时间复杂度为 n^2,但是该算法内层执行的循环次数会随着外层循环的进行依次减少,最大为n。所以,我们便可以确定该算法的时间复杂度有一个上界 n^2,即T(n) = O(n^2)
根据之前的介绍:即双重for循环的最差执行次数为 n^2,也就是O(n^2)。
常见的时间复杂度如图所示:
所耗时间从小到大依次是:
我们可以画一个函数图像清晰的看每个复杂度的时间对比:
2.2 大Ω表示法
大Ω是我们在分析算法复杂度时另外最常用的一种表示法。
f(x) = Ω(g(x)) 表示的含义是f(x)以g(x)为下界
当函数的大小只有下界,没有明确的上界的时候,可以使用大Ω表示法,该渐进描述符一般用与描述算法的 最优复杂度 。
f(n)= Ω(g(n)) 正式的数学定义:存在正常数c、n、n0,当 n > n0 的时,任意的 f(n) 符合 0 <= c.g(n) <= f(n)。如下图所示
从定义中,我们可以看到,大Ω是有一个下确界的,即最小是多少。
Note: 在online算法的竞争性分析中,如果算法A的性能是Ω(k),算法B的性能是Ω(k^2),由于我们要求竞争ratio越小越好,则Ω(k)优于Ω(k^2)。
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