指数移动平均（EMA）的原理及PyTorch实现
【炼丹技巧】
在深度学习中，经常会使用EMA（指数移动平均）这个方法对模型的参数做平均，以求提高测试指标并增加模型鲁棒。
今天瓦砾准备介绍一下EMA以及它的Pytorch实现代码。
EMA的定义
指数移动平均（Exponential Moving Average）也叫权重移动平均（Weighted Moving Average），是一种给予近期数据更高权重的平均方法。
假设我们有n个数据：
- 普通的平均数：
- EMA：
，其中，
表示前
条的平均值 (
)，
是加权权重值 (一般设为0.9-0.999)。
Andrew Ng在Course 2 Improving Deep Neural Networks中讲到，EMA可以近似看成过去 个时刻
值的平均。
普通的过去 时刻的平均是这样的：
类比EMA，可以发现当 时，两式形式上相等。需要注意的是，两个平均并不是严格相等的，这里只是为了帮助理解。
实际上，EMA计算时，过去 个时刻之前的数值平均会decay到
的加权比例，证明如下。
如果将这里的 展开，可以得到：
其中， ，代入可以得到
。
在深度学习的优化中的EMA
上面讲的是广义的ema定义和计算方法，特别的，在深度学习的优化过程中， 是t时刻的模型权重weights，
是t时刻的影子权重（shadow weights）。在梯度下降的过程中，会一直维护着这个影子权重，但是这个影子权重并不会参与训练。基本的假设是，模型权重在最后的n步内，会在实际的最优点处抖动，所以我们取最后n步的平均，能使得模型更加的鲁棒。
EMA的偏差修正
实际使用中，如果令 ，且步数较少，ema的计算结果会有一定偏差。
理想的平均是绿色的，因为初始值为0，所以得到的是紫色的。
因此可以加一个偏差修正（bias correction）：
显然，当t很大时，修正近似于1。
EMA为什么有效
网上大多数介绍EMA的博客，在介绍其为何有效的时候，只做了一些直觉上的解释，缺少严谨的推理，瓦砾在这补充一下，不喜欢看公式的读者可以跳过。
令第n时刻的模型权重（weights）为 ，梯度为
，可得：
令第n时刻EMA的影子权重为 ，可得：
代入上面 的表达，令
展开上面的公式，可得：
对比两式：
EMA对第i步的梯度下降的步长增加了权重系数 ，相当于做了一个learning rate decay。
PyTorch实现
瓦砾看了网上的一些实现，使用起来都不是特别方便，所以自己写了一个。
class EMA():
def __init__(self, model, decay):
self.model = model
self.decay = decay
self.shadow = {}
self.backup = {}
def register(self):
for name, param in self.model.named_parameters():
if param.requires_grad:
self.shadow[name] = param.data.clone()
def update(self):
for name, param in self.model.named_parameters():
if param.requires_grad:
assert name in self.shadow
new_average = (1.0 - self.decay) * param.data + self.decay * self.shadow[name]
self.shadow[name] = new_average.clone()
def apply_shadow(self):
for name, param in self.model.named_parameters():
if param.requires_grad:
assert name in self.shadow
self.backup[name] = param.data
param.data = self.shadow[name]
def restore(self):
for name, param in self.model.named_parameters():
if param.requires_grad:
assert name in self.backup
param.data = self.backup[name]
self.backup = {}
# 初始化
ema = EMA(model, 0.999)
ema.register()
# 训练过程中，更新完参数后，同步update shadow weights
def train():
optimizer.step()
ema.