矩量母函数(Moment Generating Function，mgf，又称：动差生成函数)

在统计学中，矩又被称为动差(Moment)。矩量母函数(Moment Generating Function,简称mgf)又被称为动差生成函数。

称exp(tξ)的数学期望为随机变量ξ的矩量母函数，记作mξ(t)=E(exp(tξ)). [1] 

连续型随机变量ξ的MGF为：mξ(t)=∫exp(tx)f(x)dx,积分区间为(-∞,+∞)，f(x)为ξ的概率密度函数。

离散型随机变量ξ的MGF为：mξ(t)=∑exp(tx)p(ξ=x),其中连加号代表对ξ的所有取值连加，p(ξ=x)为ξ的概率分布函数。

矩量母函数存在当且仅当上述积分(连加)极限存在。

 

性质：

（1）如果两个随机变量具有相同的mgf，那么它们具有相同的概率分布； 反之， 如果两个随机变量具有相同的概率分布， 它们的mgf也相同。（即在mgf存在的情况下，随机变量的mgf与其概率分布相互唯一确定。）

（2）独立随机变量和的mgf等于每个随机变量mgf的乘积。

我们重新回到对单随机变量分布的研究。描述量是从分布中提取出的一个数值，用来表示分布的某个特征。之前使用了两个描述量，即期望和方差。在期望和方差之外，还有其它的描述量吗？