乘积最大

 

 

题目简介：

—国际数学联盟确定的“2000—世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛活动，你的好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

—设有一个长度为N(N≤40)的数字串，要求选手使用M(M≤6)个乘号将它分成M+1个部分，找出一种分法，使得这M+1个部分的乘积最大。

—同时，为了帮助选手能够理解题意，主持人还举了如下一个例子：

—有一个数字串：312，当N=3，M=1时会有两种分法：

—⑴3×12=36

—⑵31×2=62

这时，符合题目要求的结果是：31×2=62。现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案

 

分析：长度为40,6个乘号的数位能达到42位之多，所以必须使用高精度。这里只分析思路，不做具体解答。

 

*设 ans[i , j] 为长度为i 的数串中插入 j 个乘号的最大乘积。

*ans [i ,0]=a1 a2 a3 ...ai ;

*ans [i ,j ]=ans[ k ,j-1 ]*ak+1 ...ai ; （ 1≤i≤n， 1≤j≤min{i-1,m}，j≤k≤i-1）

*ans[ n,m] 即为所求；

 

*由于乘式中第j+1项sk+1...si为常量，因此要使得ans[i,j]最大，则s1...sk中插入j-1个乘号的乘积必须最大；同样，为了寻找第j个乘号的最佳插入位置，必须一一查询子问题

ans[i,j-1]...ans[i-1,j-1]的解。显然该问题具备无后效性，最优子结构的特征，适用于动态规划算法。