DS笔记

数据结构都快忘了，再学点。

分块学习笔记

以上的不会再写，只会再写别的。

DS都快忘了。

分块学习笔记不会再写，只会再写别的。

平衡树

众所周知，BST很方便，就是会退化成链或树很高，所以我们需要更高效的DS，那就是——平衡树。

Splay

Splay好闪，拜谢Splay。

Splay是通过不断将某个节点旋转至根来保持平衡，同时满足BST的性质。

怎么旋转呢？我们来画两张图！

左旋

这是一张图：

经过左旋后变为：

可以看出就是将 $2$ 的右儿子 $1$ 变为 $2$ 的父亲，然后把 $1$ 的左儿子变成了 $2$ 的右儿子（也就是变为 $1$ 的孙子）。

右旋

和左旋相反，下边给出图示（其实就是图片倒了一下）：

经过右旋后变为：

同样可以看出，就是将 $1$ 的左儿子 $2$ 变为 $1$ 的父亲，然后把 $2$ 的右儿子变成了 $1$ 的左儿子（也就是变为 $2$ 的孙子）。

其实就是相反的。

某个节点的旋转就是这样的：

• 如果他是某个节点的左儿子，就右旋。

• 如果他是某个节点的右儿子，就左旋。

---

但是旋一次只会和父亲交换而不是到根，咋整？

答案是暴力。

是的，你没看错，只需要暴力转就可以了。

那不就写完了？溜了溜了。

别急！这是单旋Splay，它在棺材里躺得好好的呢！

单旋Splay很容易被卡到链。

如下图，如果有三点共线的情况，那么最后跳来跳去还是一条链，那咋办？

先转 $2$ 再转 $3$ 即可。

然后我们也可以得出规律了，就是先转父亲，再转自己一直这样直到自己变成根。

下面借一下大佬Enoch006的图，就是这样修改的：

接下来讲代码和操作啦。

先来声明一下变量捏。

siz//代表整棵Splay的大小
root//Splay的根节点
sz[i]//i的子树的大小
num[i]//i这个节点的值
cnt[i]//i这个节点的值出现的次数
fa[i]//i的父亲
son[i][0]//i的左儿子
son[i][1]//i的右儿子

清空

这个操作在删除后执行。

void all_zero(int x){
	fa[x]=0;
	son[x][0]=0;
	son[x][1]=0;
	num[x]=0;
	cnt[x]=0;
	sz[x]=0;
}

get

判断当前的点是左儿子还是右儿子（旋转要用）。

int get(int x){
	if(x==son[fa[x]][0]){
		return 0;
	}return 1;
}

pushup

随便写的名字

用于修改后确认并修改树的大小。

void pushup(int x){
	if(x>=1){
		sz[x]=cnt[x];
		if(son[x][0]>=1){
			sz[x]+=sz[son[x][0]];
		}if(son[x][1]>=1){
			sz[x]+=sz[son[x][1]];
		}
	}
}

rotate

如下图。

我们要旋转 $4$，就会变成下面的：

一开始 $4$ 的父亲是 $2$，$2$ 的父亲是 $1$

设 flag 为 get(4)，那么就是 $4$ 是左儿子还是右儿子。

那么可以发现，$2$ 的 flag 儿子和 $4$ 的 flag^1 儿子还有 $1$ 的或左或右的儿子（就是看一开始 $2$ 是哪个儿子）都要换。

其实旋转就是连边、断边。

（下面的数字就是上面那棵树的节点）。

于是我们先把 $2$ 和 $6$ 连上，再连 $4$ 和 $2$，最后连 $1$ 和 $2$。

那么旋转就好了。

void rotate(int x){
	int f=fa[x],flag=get(x);
	int gra=fa[f];
	son[f][flag]=son[x][flag^1];
	fa[son[f][flag]]=f;
	son[x][flag^1]=f;
	fa[f]=x,fa[x]=gra;
	if(gra>=1){
		if(son[gra][1]==f){
			son[gra][1]=x
		}else{
			son[gra][0]=x
		}
	}pushup(f),pushup(x);
}

Splay

双旋的关键。

这里判断两种情况：

• 三点一线，这样就是上面说的，先转父亲，再转自己一直这样直到自己变成根。

• 不是三点一线，疯狂暴力旋转即可。

void Splay(int x){
	for(int f=0,f=fa[x];rotate(x)){
		if(fa[f]>=1){
			if(get(x)==get(fa)){
				rotate(fa);
			}else{
				rotate(x);
			}
		}
	}rt=x;
}

insert

也是分类讨论：

• 如果 rt==0，那么树肯定是空的，那么

咕了。