DS笔记
数据结构都快忘了，再学点。
以上的不会再写，只会再写别的。
DS都快忘了。
分块学习笔记不会再写，只会再写别的。
平衡树
众所周知，BST很方便，就是会退化成链或树很高，所以我们需要更高效的DS，那就是——平衡树。
Splay
Splay好闪，拜谢Splay。
Splay是通过不断将某个节点旋转至根来保持平衡，同时满足BST的性质。
怎么旋转呢？我们来画两张图！
左旋
这是一张图：
经过左旋后变为：
可以看出就是将 \(2\) 的右儿子 \(1\) 变为 \(2\) 的父亲，然后把 \(1\) 的左儿子变成了 \(2\) 的右儿子（也就是变为 \(1\) 的孙子）。
右旋
和左旋相反，下边给出图示（其实就是图片倒了一下）：
经过右旋后变为：
同样可以看出，就是将 \(1\) 的左儿子 \(2\) 变为 \(1\) 的父亲，然后把 \(2\) 的右儿子变成了 \(1\) 的左儿子（也就是变为 \(2\) 的孙子）。
其实就是相反的。
某个节点的旋转就是这样的：
-
如果他是某个节点的左儿子，就右旋。
-
如果他是某个节点的右儿子，就左旋。
但是旋一次只会和父亲交换而不是到根，咋整？
答案是暴力。
是的，你没看错，只需要暴力转就可以了。
那不就写完了？溜了溜了。
别急！这是单旋Splay，它在棺材里躺得好好的呢！
单旋Splay很容易被卡到链。
如下图，如果有三点共线的情况，那么最后跳来跳去还是一条链，那咋办？
先转 \(2\) 再转 \(3\) 即可。
然后我们也可以得出规律了，就是先转父亲，再转自己一直这样直到自己变成根。
下面借一下大佬Enoch006的图，就是这样修改的：
接下来讲代码和操作啦。
先来声明一下变量捏。
siz//代表整棵Splay的大小
root//Splay的根节点
sz[i]//i的子树的大小
num[i]//i这个节点的值
cnt[i]//i这个节点的值出现的次数
fa[i]//i的父亲
son[i][0]//i的左儿子
son[i][1]//i的右儿子
清空
这个操作在删除后执行。
void all_zero(int x){
fa[x]=0;
son[x][0]=0;
son[x][1]=0;
num[x]=0;
cnt[x]=0;
sz[x]=0;
}
get
判断当前的点是左儿子还是右儿子（旋转要用）。
int get(int x){
if(x==son[fa[x]][0]){
return 0;
}return 1;
}
pushup
随便写的名字
用于修改后确认并修改树的大小。
void pushup(int x){
if(x>=1){
sz[x]=cnt[x];
if(son[x][0]>=1){
sz[x]+=sz[son[x][0]];
}if(son[x][1]>=1){
sz[x]+=sz[son[x][1]];
}
}
}
rotate
如下图。
我们要旋转 \(4\)，就会变成下面的：
一开始 \(4\) 的父亲是 \(2\)，\(2\) 的父亲是 \(1\)
设 flag 为 get(4)，那么就是 \(4\) 是左儿子还是右儿子。
那么可以发现，\(2\) 的 flag 儿子和 \(4\) 的 flag^1 儿子还有 \(1\) 的或左或右的儿子（就是看一开始 \(2\) 是哪个儿子）都要换。
其实旋转就是连边、断边。
（下面的数字就是上面那棵树的节点）。
于是我们先把 \(2\) 和 \(6\) 连上，再连 \(4\) 和 \(2\)，最后连 \(1\) 和 \(2\)。
那么旋转就好了。
void rotate(int x){
int f=fa[x],flag=get(x);
int gra=fa[f];
son[f][flag]=son[x][flag^1];
fa[son[f][flag]]=f;
son[x][flag^1]=f;
fa[f]=x,fa[x]=gra;
if(gra>=1){
if(son[gra][1]==f){
son[gra][1]=x
}else{
son[gra][0]=x
}
}pushup(f),pushup(x);
}
Splay
双旋的关键。
这里判断两种情况：
-
三点一线，这样就是上面说的，先转父亲，再转自己一直这样直到自己变成根。
-
不是三点一线，
疯狂暴力旋转即可。
void Splay(int x){
for(int f=0,f=fa[x];rotate(x)){
if(fa[f]>=1){
if(get(x)==get(fa)){
rotate(fa);
}else{
rotate(x);
}
}
}rt=x;
}
insert
也是分类讨论：
-
如果
rt==0，那么树肯定是空的，那么
咕了。
