【学习笔记】倍增ST表、LCA学习笔记

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众所周知，scy5赛时在P10059 Choose写了个滑动窗口骗 $40$ 分，但是狂 WA 不止，丢掉了 $rk155$，于是就有了下面这两张口吐芬芳的图：

听说这题可以用ST表做，但他不会，于是他就来学倍增乐。

省流：被吊打了

更改日志

2024/01/16：开坑。

倍增原理

设做一件事有 $n$ 个步骤。

模拟想法：我们可以一个一个步骤去做，时间复杂度 $\mathcal{O}(n)$。

有满足条件为：用第 $x$ 步的结果可以推出第 $2\times x$ 步的结果。

那么我们可以预处理出 $2$ 的幂次步的结果，然后将 $n$ 二进制拆分。

如 $n=7$ 时，等于第 $1$ 步 $+$ 第 $2$ 步 $+$ 第 $4$ 步。

时间复杂度 $\mathcal{O}(logn)$，相较于模拟想法更优。

理解倍增

我们拿快速幂来当作例子（应该都会）。

大意

求 $a^{b}modp$。

$0\le a,b<2^{31}$，$a+b>0$，$2\le p<2^{31}$。

数据太大，模拟的时间复杂度为 $\mathcal{O}(b)$，不可行。

其实快速幂也可以用倍增优化。

可以发现，求幂次就满足倍增的条件：用第 $x$ 步的结果可以推出第 $2\times x$ 步的结果。

因为 $a^x$ 和 $a^{2\times x}$ 次方有关系，$a^{2\times x}=a^x\times a^x$。

然后就可以先求出 $a^1,a^2,a^3...$ 的值。

最后求 $a^b$ 时，将 $b$ 二进制拆分。

那么，如 $b=13$，$13$ 可以分解为 $8+4+1$，那么答案就是 $a^8\times a^4\times a^1$。

二进制拆分应该都会，就不写了（懒）

二进制拆分就是算出 $b$ 的二进制然后如果一位是1就拆出一个这一位相应的数啦！

ST表（RMQ）

P3865 【模板】ST 表

题目描述

给定一个长度为 $N$ 的数列，和 $M$ 次询问，求出每一次询问的区间内数字的最大值。

输入格式

第一行包含两个整数 $N,M$，分别表示数列的长度和询问的个数。

第二行包含 $N$ 个整数（记为 $a_i$），依次表示数列的第 $i$ 项。

接下来 $M$ 行，每行包含两个整数 $l_i,r_i$，表示查询的区间为 $[l_i,r_i]$。

输出格式

输出包含 $M$ 行，每行一个整数，依次表示每一次询问的结果。

提示

对于 $30\mathrm{\%}$ 的数据，满足 $1\le N,M\le 10$。

对于 $70\mathrm{\%}$ 的数据，满足 $1\le N,M\le {10}^5$。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，满足 $1\le N\le {10}^5$，$1\le M\le 2\times {10}^6$，$a_i\in [0,{10}^9]$，$1\le l_i\le r_i\le N$。

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解法

这题先考虑暴力，每次找一遍区间最大值，时间复杂度 $\mathcal{O}(n\times m)$，不可能通过如此大的数据。

那么我们去想：这题是否满足倍增的条件：用第 $x$ 步的结果可以推出第 $2\times x$ 步的结果？

答案是肯定的，因为我们可以知道，如果我们知道了两个相邻区间的最大值，那么这个大区间的最大值就是两者取 $max$，那么就可以知道，用两个相邻的长度为 $2$ 的区间可以求出长度为 $4$ 的区间，两个相邻的长度为 $4$ 的区间可以求出长度为 $8$ 的区间，以此类推……

那么定义一个数组 $f_{i,j}$ 表示从位置 $i$ 开始，长度为 $2^j$ 的区间中的最大值是多少。

首先，所有的 $f_{i,0}=a_i$，因为就是从位置 $i$ 开始，长度为 $1$ 的区间中的最大值是多少，那肯定就是他自己。

然后，当 $j>0$ 时，因为 $2^j=2^{j-1}+2^{j-1}$，所以可以将长度为 $2^j$ 的区间拆为两个长度为 $2^{j-1}$ 的区间，那么就转移就是（下面将 $f_{i,j}$ 写为 $f(i,j)$）：

$$f(i,j)=max(f(i,j-1),f(i+2^{j-1},j-1))$$

这样预处理的时间复杂度为 $\mathcal{O}(nlogn)$。

那么，预处理就好了。

然后是调用。

那么我们就对区间长度（就是 $r-l+1$）进行二进制分解，设区间长度为 $7$，那么可以拆成 $1+2+4$，可以将区间 $[2,8]$ 拆为三个区间 $[2,2],[3,4],[5,8]$，这三个区间，分别对应 $f(2,0),f(3,1),f(5,2)$。

然后二进制拆分即可。

CODE：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,l,r,a[100010],ST[100010][20]; 
int qpow(int a,int b){//快速幂
	int ret=1;
	while(b){
        if(b%2!=0){
			ret=ret*a;
		}  
        a=a*a,b/=2;
    }return ret;
}int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		ST[i][0]=a[i];//初始化
	}for(int j=1;j<=20;j++){//枚举幂次
		for(int i=1;i+qpow(2,j)-1<=n;i++){//枚举起点
			ST[i][j]=max(ST[i][j-1],ST[i+qpow(2,j-1)][j-1]);//转移
		}
	}for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&l,&r);
		int len=r-l+1,ret=-1,cnt=0;
		for(int j=0;j<20;j++){
			if(len%2==1){//若这一位为一
				ret=max(ret,ST[l+cnt][j]);//那么就尝试更新
				cnt+=qpow(2,j);//下一个拆出的区间
			}len/=2;//去掉这一位
		}printf("%d\n",ret);
	}return 0;
}

咕咕咕