【CQOI2017】老C的键盘
Description
https://loj.ac/problem/3023
一句话题意：给你一棵完全二叉树，每条边有一个方向，求这棵树有多少种不同的拓扑序。
Solution
简化题意后，其实就是一个普及组树形 DP。
设 \(dp(i,j)\) 表示以点 \(i\) 为根的子树中，\(i\) 号点排第 \(j\) 名的方案数。
利用 \(j\) 这个辅助维，我们可以枚举点 \(i\) 的排名 \(k\)，扫一遍点 \(i\) 的所有儿子，每次会新来一个以 \(v\) 为根的子树合并到以 \(i\) 为根的子树上，枚举点 \(i\) 和点 \(v\) 在各自子树中的排名（记为 \(rank_i\) 和 \(rank_v\)），若题目限制点 \(i\) 排在点 \(v\) 前面，则枚举要满足 \(rank_i+rank_v\le k\)，否则题目限制点 \(i\) 排在点 \(v\) 后面，则枚举要满足 \(rank_i+rank_v\gt k\)。
设从 \([1,k-1]\) 中选 \(rank_i-1\) 个整数的方案数为 \(L\)，从 \([k+1,size_i+size_v]\) 中选 \(size_i-rank_i\) 个整数的方案数为 \(R\)，则 \(dp(i,k) += dp(i,rank_i)\times dp(v,rank_v)\times L\times R\)。这很好理解。
最后算时间复杂度，还是那个套路，看起来是 \(O(n^4)\)，其实还是 \(O(n^3)\)，因为最里面两层循环的最大上界分别为 \(size_i\) 和 \(size_v\)，这等价于在两棵子树内选 \(2\) 个点。那么这就是个以前讲过的套路，树上每对点只会在 LCA 处被枚举一次，故最里面两层循环套 dfs 的时间是 \(O(n^2)\)，乘上一个枚举 \(k\) 的循环，总时间 \(O(n^3)\)。
