【六省联考2017】相逢是问候
- 我还停留在 oyyp 去年 8 月的水平，我真的没救了，以后准备铁牌退役吧
Description
Solution
考察对扩展欧拉定理的理解。
我们知道扩展欧拉定理长这样 $$a^b% p = a^{b% \varphi(p) + (b\ge \varphi(p) ? \varphi(p) : 0)}$$
那么进行一次题目中的修改操作，得到 \(a^{a^b}\)，发现 $$\begin{align} a{ab}% p &= a{ab% \varphi(p)+(a^b\ge \varphi(p) ? \varphi(p) : 0)}% p \nonumber \ &= a{a% \varphi(p) + \cdots}% p \nonumber \end{align}$$（“\(\cdots\)” 用于省略类似于 \((b\ge \varphi(p) ? \varphi(p) : 0)\) 的语句）
不难发现指数每往上一级，模数 \(p'\) 就会求一次欧拉函数，即 \(\varphi(p')\)。
有个性质：对于一个正整数 \(p\)，不断地对其求欧拉函数，至多求 \(2\log p\) 次就会变成 \(1\)，之后一直都是 \(1\)。证明很简单自己去看
故当一个数 \(a\) 被进行一定次题目中的修改操作后，再怎么修改值都不会变了，故我们可以忽略掉以后对它的操作。
用线段树维护题目给定的数组，区间修改下传 tag 时，若这个区间中所有数的修改次数都够了，就不用下传 tag 了。tag 下传到叶子节点时，暴力重算该点的值即可（这里需要快速幂，故复杂度再多一个 \(\log\)），每个数最多被暴力重算 \(2\log p\) 次，故复杂度是对的。
时间复杂度 \(O(n\log n\log^2 p)\)。
这个复杂度有可能跑不过。不难发现由于快速幂的底数始终是个定值 \(c\)，所以可以 \(O(\sqrt{p})\) 预处理、\(O(1)\) 查询，即光速幂。具体做法：预处理出 \(c^{0\cdots 10000}\)，再预处理出 \(d^{0\cdots 10000}\)（\(d=c^{10000}\)），查询 \(c^k\) 时求 \(d^{k/10000}\times c^{k\%10000}\)，注意单独处理 \(k=10^8\) 的情况。
时间复杂度 \(O(n\log n\log p)\)。
