【2018.10.2】菌落合并

【题目描述】
小 $M$ 培养了 $n$ 个菌落。其中每个菌落有质量和颜色两种属性，颜色只可能为紫色或红色。小 $M$ 想把所有的菌落合并成一个菌落。因为合并的过程非常费劲，小 $M$ 每天只能进行一次合并，整个过程需要进行 $n − 1$ 天。一次合并会将两个菌落变成一个菌落。如果原来两个菌落的颜色相同，两个菌落会进行融合，新的菌落质量为原来两个菌落质量之和，颜色不变；如果原来两个菌落的颜色不同，两个菌落会进行战斗，新的菌落质量为原来两个菌落质量之差，颜色为质量较大的那个菌落。需要特殊说明的是，中间过程中如果产生了质量为 $0$ 的菌落，这个菌落也需要参与后续合并而不能直接舍弃；可以证明将质量为 $0$ 的菌落视为紫色或红色都不影响后续的计算。
每天的合并结束后，小 $M$ 都需要喂养当前的每个菌落。对于一个质量为 $w$ 的菌落，小 M 需要花费 $w^2$ 单位的能量对它进行一天的喂养。
小 $M$ 希望你帮他求出菌落的最佳合并顺序，使得喂养所消耗的总能量最少。你只需要输出所需要的最小能量即可。

【输入格式】
从文件 germ.in 中读入数据。
输入的第一行包含一个正整数 $T$，表示数据的组数。对于所有的测试点，保证$ T = 10$。
对于每组数据，第一行包含一个正整数 $n$，表示最初菌落的个数。
接下来 $n$ 行，每行包含一个正整数和一个字符串，表示这个菌落的质量和颜色。若字符串为 $743481$，表示这个菌落是紫色；若字符串为 $8B0012$，表示这个菌落是红色。保证不会出现其他的字符串，保证给出的正整数不超过 $10^6$ 。

【输出格式】
输出到文件 germ.out 中。
对于每组数据，输出一行一个整数，表示消耗的最少总能量。注意这个值可能很大，请注意选用合适的数据类型来存储它。

【样例输入】
10
4
3 743481
20 743481
7 8B0012
18 743481
3
10 8B0012
13 743481
13 8B0012
5
14 743481
16 8B0012
2 8B0012
9 8B0012
8 8B0012
4
11 8B0012
15 8B0012
4 8B0012
8 8B0012
2
11 8B0012
6 8B0012
4
8 8B0012
16 8B0012
16 8B0012
3 8B0012
2
20 743481
17 743481
3
6 8B0012
20 743481
13 8B0012
4
19 8B0012
15 743481
4 8B0012
1 743481
2
11 8B0012
14 8B0012

【样例输出】
2238
200
980
2688
289
3467
1369
86
107
625

【样例解释】
对于样例中的第一组数据，最优的合并方案如下：
1. 合并紫色的 $20$ 和红色的 $7$，得到紫色的 $13$；喂养的能量花费为 $3^2 +13^2 +18^2 = 502$。
2. 合并紫色的 $13$ 和紫色的 $3$，得到紫色的 $16$；喂养的能量花费为 $16^2 +18^2 = 580$。
3. 合并紫色的 $16$ 和紫色的 $18$，得到紫色的 $34￥；喂养的能量花费为 ￥34^2 = 1156$。
可以证明没有更优的方案。

【子任务】
$n<=10$。

 

对于全是同一种颜色的情况，不能从小到大两两合并，这样得出来的解并不是最优的，同色的1~10就是个反例。

 

可以当做一个模拟退火题：

模拟退火题的典例——哈密顿回路题有个较优算法：将初始退火序列设为图的最小生成树的遍历。

 

也可以当做一个贪心暴力折中题：

把这题的暴力和贪心对比一下（当然贪心的结果会大一点点），会发现贪心出现的少量错误答案只比暴力的正确答案多一点点，然后输出一下路径，发现贪心的路径与暴力的路径很相似。因此把每一步的$n^2$枚举的所有情况所导致的结果从小到大排序，然后跑前几种即可（Mangod跑了5个就A了）。

 

std：

f(i,s)表示合并i次后时，经过的点的集合是s。

这个集合s怎么表示？

我们都知道，s是把集合压成一个数，代表一种情况。

然而这里并不能只存个表示01二进制序列的数，表示一个数选或不选，因为一个数在被合并入不同的菌落时，是有不同的后效性的（后效性就是说前面的决策对后面所有答案都有影响），因此有多种不同的合并情况需要被统计。

也就是说，我们需要记录每个数被合并到了哪个菌落里。这就需要并查集的思想了。

我们让每个初始菌落存一个数，表示这个菌落被合并若干次后，该菌落中编号最小的初始菌落的编号。那么存的这个数相同的初始菌落就都已经被合并到一个菌落里了。

容易发现，每个初始菌落存的数都不会超过自己的编号。

那么$n$个初始菌落的编号总种数就是$n!$，一看$n=10$，总种数大约$100w$。这就可以状态压缩了。

转移方程：

复杂度：$O(n!