【2018.10.1】「JOI 2014 Final」年轮蛋糕

题面

一看到求“最小值的最大值”这种问题，就能想到二分了。

二分答案，然后我们要把一圈分成三块，使这三块的大小都$\geq mid$。做法是把环展开成2倍长度的链，先钦定一个起点，然后根据前缀和再二分一下前两块的最小大小（注意前两块要连着），第三块用一圈的大小减去前两块的大小即可得到。如果第三块的大小$\geq mid$就返回$true$，提高答案范围；否则返回$false$，降低答案范围。

这样就能卡着最优情况下最小那一块的最大值从而得出答案了。

上面这种做法是$O(n*log_n*log_a)$，且二分次数多，常数较大，比较卡时。能不能不二分前两块的最小大小而快速求出？

如果做过“不超过某数的最大区间和（所有数非负）”这种单调性显然的题的话应该知道，钦定起点、确定大小这样一个做法在单调意义下可以滑动窗口。在这里前两块其实也是滑窗，因此省掉了内层的二分。时间复杂度$O(n*log_a)$。

当然，把枚举起点的循环放到二分外边会快一点。

也可以改变枚举量（WZQ的做法），就是把二分最小大小 改为 二分前两块的长度，提高答案范围当且仅当第一块的大小$\leq mid$，第二、三块的大小$\geq mid$。这样时间复杂度大概为$O(n*log_n*log_n)$。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 100002
inline int read(){
    int x=0; bool f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
    for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
    if(f) return x;
    return 0-x;
}
int n,n1;
long long a[N<<1],sfx[N<<1];
long long judge(long long x){
    //printf("x:%d\n",x);
    int dir,dir2; long long mx=-1;
    for(int i=1;sfx[i+n1-1]-sfx[i-1]>=x*3;++i){
        dir=lower_bound(sfx+i,sfx+i+n1,x+sfx[i-1])-sfx;
        if(sfx[dir]-sfx[i-1]>x) --dir;
        if(dir<i) continue;
        dir2=lower_bound(sfx+dir+1,sfx+i+n1,x+sfx[dir])-sfx;
        if(dir2<=dir) dir2=dir+1;
        //printf("%d %d %lld %lld %lld\n",dir,dir2,sfx[dir]-sfx[i-1],sfx[dir2]-sfx[dir],sfx[i+n1-1]-sfx[dir2]);
        //cout<<(dir2<i+n1-1)<<' '<<(sfx[i+n1-1]-sfx[dir2]>=sfx[dir]-sfx[i-1])<<'\n';
        if(dir2<i+n1-1 && sfx[i+n1-1]-sfx[dir2]>=sfx[dir]-sfx[i-1]) mx=max(mx,sfx[dir]-sfx[i-1]);
    }
    //printf("MX:%lld\n",mx);
    return mx;
}
        
int main(){
    n=n1=read();
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++) a[i]=a[i+n]=read(), sfx[i]=sfx[i-1]+a[i];
    n<<=1;
    for(;i<=n;i++) sfx[i]=sfx[i-1]+a[i];
    long long l=0,r=(sfx[n]+n-1)/3,mid,ret,ans=-1;
    while(l<=r){
        mid=(l+r)>>1;
        ret=judge(mid);
        if(ret!=-1) ans=ret, l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 100002
inline int read(){
    int x=0; bool f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
    for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
    if(f) return x;
    return 0-x;
}
int n,n1;
long long a[N<<1],sfx[N<<1];

long long judge(int i,long long x){
    //printf("faq:%d %lld\n",i,x);
    int dir,dir2;
    dir=lower_bound(sfx+i,sfx+i+n1,x+sfx[i-1])-sfx;
    if(sfx[dir]-sfx[i-1]>x) --dir;
    if(dir<i || dir>=i+n1-2) return -1;
    
    dir2=lower_bound(sfx+dir+1,sfx+i+n1,(sfx[dir]<<1)-sfx[i-1])-sfx;
    if(dir2>=i+n1-1) return -1;
    
    //printf("%d %d %lld %lld %lld\n",dir,dir2,sfx[dir]-sfx[i-1],sfx[dir2]-sfx[dir],sfx[i+n1-1]-sfx[dir2]); 
    if(sfx[i+n1-1]-sfx[dir2]>=sfx[dir]-sfx[i-1]) return sfx[dir]-sfx[i-1];
    return -1;
}
int main(){
    n=n1=read();
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++) a[i]=a[i+n]=read(), sfx[i]=sfx[i-1]+a[i];
    n<<=1;
    for(;i<=n;i++) sfx[i]=sfx[i-1]+a[i];
    int dir,dir2;
    long long ans=-1;
    for(int i=1; i<=n1; i++){
        long long l=1,r=sfx[n1]/3,mid,ret,res=-1;
        while(l<=r){
            mid=(l+r)>>1;
            ret=judge(i,mid);
            if(ret!=-1) res=ret, l=mid+1;
            else r=mid-1;
        }
        ans=max(ans,res);
    }    
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1000000+101010;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
    return x*f;
}
ll n,a[maxn],sum,num[maxn];


bool erfe(ll l,ll r,ll he){
    ll l1=l,r1=r,ans=0;
    while(r1>=l1){
        ll mid=r1+l1>>1;    
        ll qq=num[mid]-num[l-1],ww=num[n]-qq-he;
        if(qq>=he){
            if(ww>=he)return 1;
            else r1=mid-1;    
        }
        else l1=mid+1;
    }
    return 0;
}
ll aa;
ll erf(ll l,ll r){
    ll l1=l,r1=r,ans=0;
    while(r1>=l1){
        ll mid=r1+l1>>1;
        if(num[mid]-num[l-1]<=sum){
            if(erfe(mid+1,r,num[mid]-num[l-1]))ans=max(ans,num[mid]-num[l-1]),l1=mid+1;
            else r1=mid-1;
        }
        else r1=mid-1;
    }
    return ans;
}

ll ans=0;
void zj(){
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        ans=max(ans,erf(i,n+i-1));
    }
    printf("%lld",ans);
    return ;
}

int main(){
    n=read();
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read();
        num[i]=num[i-1]+a[i];
        sum+=a[i];
    }
    for(ll i=n+1;i<=2*n;i++)a[i]=a[i-n],num[i]=num[i-1]+a[i];
    sum=sum/3;
    zj();
    return 0;
}

滑窗没写先凑乎吧。