【2018.9.20】JOI 2017 Final T3「JOIOI 王国 / The Kingdom of JOIOI」
题目描述
JOIOI 王国是一个 $H$ 行 $W$ 列的长方形网格，每个 $1\times 1$ 的子网格都是一个正方形的小区块。为了提高管理效率，我们决定把整个国家划分成两个省 $JOI$ 和 $IOI$ 。
我们定义，两个同省的区块互相连接，意为从一个区块出发，不用穿过任何一个不同省的区块，就可以移动到另一个区块。有公共边的区块间可以任意移动。
我们不希望划分得过于复杂，因此划分方案需满足以下条件：
- 区块不能被分割为两半，一半属 $JOI$ 省，一半属 $IOI$ 省。
- 每个省必须包含至少一个区块，每个区块也必须属于且只属于其中一个省。
- 同省的任意两个小区块互相连接。
- 对于每一行/列，如果我们将这一行/列单独取出，这一行/列里同省的任意两个区块互相连接。这一行/列内的所有区块可以全部属于一个省。
现给出所有区块的海拔，第 $i$ 行第 $j$ 列的区块的海拔为 $A_{i,j}$。设 JOI 省内各区块海拔的极差（最大值减去最小值） 为 $R_{JOI}$，IOI 省内各区块海拔的极差为 $R_{IOI}$。在划分后，省内的交流有望更加活跃。但如果两个区块的海拔差太大，两地间的交通会很不方便。 因此，理想的划分方案是 $\max(R_{JOI}, R_{IOI})$ 尽可能小。
你的任务是求出 $max(R_{JOI}, R_{IOI})$ 至少为多大。
输入格式
第一行，两个整数 $H,W$，用空格分隔。
在接下来的 HHH 行中，第 $i$ 行有 $W$ 个整数 $A_{i,1}, A_{i, 2}, \ldots, A_{i, W}$，用空格分隔。
输入的所有数的含义见题目描述。
输出格式
一行，一个整数，表示 $max(R_{JOI}, R_{IOI})$ 可能的最小值。
样例
样例输入 1
4 4
1 12 6 11
11 10 2 14
10 1 9 20
4 17 19 10样例输出 1
11样例解释 1
在这组样例中，一种理想方案长这样。下图中，$J$ 表示该区块属于 $JOI$ 省，$I$ 表示该区块属于 $IOI$ 省。
| $J$ | $J$ | $J$ | $I$ |
| $J$ | $J$ | $J$ | $I$ |
| $J$ | $J$ | $I$ | $I$ |
| $J$ | $I$ | $I$ | $I$ |
注意下述方案不符合第四条原则，将第三列单独取出时，两个 $I$ 不能互相连接。
| $J$ | $J$ | $I$ | $I$ |
| $J$ | $J$ | $J$ | $I$ |
| $J$ | $J$ | $I$ | $I$ |
| $J$ | $I$ | $I$ | $I$ |
样例输入 2
8 6
23 23 10 11 16 21
15 26 19 28 19 20
25 26 28 16 15 11
11 8 19 11 15 24
14 19 15 14 24 11
10 8 11 7 6 14
23 5 19 23 17 17
18 11 21 14 20 16样例输出 2
18数据范围与提示
对于 $15\%$ 的数据，$H, W\leqslant 10$。
对于另外 $45\%$ 的数据，$H, W\leqslant 200$。
对于所有数据，$2\leqslant H, W\leqslant 2000, A_{i,j}\leqslant 10^9(1\leqslant i\leqslant H, 1\leqslant j\leqslant W)$。
上网搜这JOI的题，一篇题解都没找到，好尬啊，只好回日本 JOI2017 原网站看了半天日语题解，日语水平菜头皮发麻。
看看$N,M$，乘起来共有400w个数，再看看答案的值域，$[0, 10^9(max-min)]$。
好像可以二分答案并$n^2$判断？
于是我们只需要再知道怎么判断分割是否可行。
其实，题目说的比较含蓄，整个地图划分的两个省其实都类似于旋转三角：
原因是这两条：
- 同省的任意两个小区块互相连接。
- 对于每一行/列，如果我们将这一行/列单独取出，这一行/列里同省的任意两个区块互相连接。这一行/列内的所有区块可以全部属于一个省
所以判断就比较方便了。
我们可以先找出海拔的最小值$AllMin$和最大值$AllMax$。
然后二分答案与海拔最小值的差（这样更好，我直接二分答案然后莫名被卡）$x$。
我们就要判断现在能否划分出两个类似于上图的三角，如果能就缩小答案，如果不能就增大答案。
那么让一块的最大值$\leq AllMin+x$，一块的最小值$\geq AllMax-x$，依次判断上述四种情况是否有一种满足即可。
比如让红色省区的最大值$\leq AllMin+x$，以第二张图为例，只需要从第一行开始在每行中遍历。如果遍历到 第一个海拔$\geq$最大值的地方 或者 超过上一行划分的红色省区右端的地方 就停（这一格不划入红色省区），转到下一行即可。否则将该格划入红色省区。
然后每行右边没划的地方自然全给蓝色省区，再判一下蓝色省区的最小值是否$\geq AllMax-x$就行了。
其它情况类似。
时间复杂度$O(H*W*log(AllMax-AllMin))$。
1 #include <cstdio> 2 #include <algorithm> 3 using namespace std; 4 5 int H, W, A[2020][2020]; 6 int gmin, gmax; 7 8 bool check(int th) 9 { 10 int sep = 0; 11 for (int i = 0; i < H; ++i) { 12 for (int j = 0; j < W; ++j) { 13 if (A[i][j] < gmax - th) { 14 sep = max(sep, j + 1); 15 } 16 } 17 for (int j = 0; j < W; ++j) { 18 if (gmin + th < A[i][j]) { 19 if (j < sep) return false; 20 } 21 } 22 } 23 return true; 24 } 25 void flip_row() 26 { 27 for (int i = 0; i < H / 2; ++i) { 28 for (int j = 0; j < W; ++j) { 29 swap(A[i][j], A[H - 1 - i][j]); 30 } 31 } 32 } 33 void flip_col() 34 { 35 for (int i = 0; i < H; ++i) { 36 for (int j = 0; j < W / 2; ++j) { 37 swap(A[i][j], A[i][W - 1 - j]); 38 } 39 } 40 } 41 int solve() 42 { 43 int lo = 0, hi = gmax - gmin; 44 while (lo < hi) { 45 int mid = (lo + hi) / 2; 46 if (check(mid)) { 47 hi = mid; 48 } else { 49 lo = mid + 1; 50 } 51 } 52 return lo; 53 } 54 int main() 55 { 56 scanf("%d%d", &H, &W); 57 for (int i = 0; i < H; ++i) { 58 for (int j = 0; j < W; ++j) { 59 scanf("%d", &(A[i][j])); 60 } 61 } 62 63 gmin = gmax = A[0][0]; 64 for (int i = 0; i < H; ++i) { 65 for (int j = 0; j < W; ++j) { 66 gmin = min(gmin, A[i][j]); 67 gmax = max(gmax, A[i][j]); 68 } 69 } 70 71 //翻转三次，得到四种情况 72 int ret = solve(); 73 flip_row(); 74 ret = min(ret, solve()); 75 flip_col(); 76 ret = min(ret, solve()); 77 flip_row(); 78 ret = min(ret, solve()); 79 printf("%d\n", ret); 80 return 0; 81 }
