字符串普及题 2

几天前我还会写普及组题，现在已经不会写了

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题意

　　给你一个仅由字符 \(\text{H,T}\) 构成的字符串 \(S\)。
　　有一个初始为空的字符串 \(T\)，每次随机在 \(T\) 的末尾添加 \(\text{H}\) 或 \(\text{T}\)。
　　问当 \(S\) 为 \(T\) 的后缀时，在末尾添加字符的期望次数（即 \(T\) 的期望长度）。
　　\(|S|\le 10^6\)

题解

　　真的是个普及组题

　　不考虑构建 \(T\) 串，只考虑构建 \(S\) 串。
　　那么问题相当于转化为：初始时你在 \(s\) 串的第 \(0\) 位，当你在第 \(i\) 位时，有 \(0.5\) 的概率走到第 \(i+1\) 位，另外 \(0.5\) 的概率走到第 \(fail[i+1]\) 位。求走到第 \(|S|\) 位的期望步数。
　　\(fail[i]\) 表示将第 \(i\) 位字符反转后，\(S\) 串自己对自己做 KMP 时第 \(i\) 位的 \(fail\) 指针指向的位置。两次 KMP 预处理即可。
　　然后这就是个普及组的期望 \(dp\)……

方法 1

　　设 \(f[i]\) 表示第一次从第 \(i\) 位走到第 \(i+1\) 位的期望步数。
　　此时转移为 \(f[i] = 0.5\times 1 + 0.5\times (1+f[fail[i+1]]+f[fail[i+1]+1]+...+f[i-1]+f[i])\)
　　后面那一长串的意思就是 到达上一个匹配位置，再逐步走过来。
　　由于是递推，前缀和优化即可。

方法 2

　　另外一种方法：
　　设 \(f[i]\) 表示第 \(i\) 位走到第 \(n\) 位的期望步数。
　　转移为 \(f[i] = 0.5\times f[i+1] + 0.5\times f[fail[i+1]] + 1\)
　　移项得 \(f[i+1] = 2\times f[i] - f[fail[i+1]] - 2\)
　　好像是带环的解方程，不能直接倒推 \(f\)。
　　但不难发现，这种倒推在起点处的性质很好，即 \(f[0] = 0.5\times f[1] + 0.5\times f[0] + 1\)，即 \(f[1]=f[0]-2\)。
　　由于对于任意的 \(i\ge 2\)，\(f[i]\) 最多只与 \(2\) 个满足 \(j\lt i\) 的 \(f[j]\) 有关，所以从 \(f[0]\) 和 \(f[1]\) 出发可以递推出其它所有点的相关信息。
　　下面考虑什么是“相关信息”。
　　我们知道终点处 \(f[|S|]=0\)。如果能得到一个关于 \(f[0]\) 和 \(f[|S|]\) 的等式就好了，这样我们可以直接算出 \(f[0]\)。
　　于是把每个位置用 \(a\times f[0]+b\) 表示出来。正着扫一遍 \(S\) 串递推出来所有位置的系数 \(a\) 和 \(b\)，得到 \(f[n]\) 的两个系数后就可以得到关于 \(f[0]\) 和 \(f[|S|]\) 的等式了。

　　关于第二种做法，后来我想到一个问题：最后一步算 \(f[0]\) 要做除法（除以 \(a[n]\)），不会得小数么？
　　然后把所有位置的 \(a\) 都输出出来，发现全是 \(1\)……
　　下意识地看了下转移式，突然明白了些什么……
　　所以这题可以不记系数 \(a\)……

　　本质就是解方程高斯消元

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000010
#define mod 1000000007
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0; bool f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
    for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
    if(f) return x; return 0-x;
}
char s[N];
int n,fail[N],_fail[N],g[N];
void KMP(){
    int j=0;
    for(int i=2; i<=n; ++i){
        while(j && s[i]!=s[j+1]) j=fail[j];
        if(s[i]==s[j+1]) ++j;
        fail[i]=j;
    }
    j=0;
    for(int i=2; i<=n; ++i){
        while(j && s[i]==s[j+1]) j=fail[j];
        if(s[i]!=s[j+1]) ++j;
        _fail[i]=j, j=fail[i];
    }
}
int main(){
    scanf("%s",s+1); n=strlen(s+1);
    KMP();
    g[1]=mod-2;
    for(int i=2; i<=n; ++i) g[i] = ((g[i-1]*2%mod - g[_fail[i]] - 2) % mod + mod) % mod;
    cout<<mod-g[n]<<endl;
    return 0;
}