【安徽集训】fiend
- 考试的时候只会 \(O(Tn^3)\) 的做法，其它题还都不会，想到一整场就打这么点是人都能写的暴力没啥意思，就懒得写了。。
Description
双人博弈。每一轮 A 和 B 同时选择一个 \(1\text{~} n\) 的排列 \(P_i\)，必须满足 \(L_i\le P_i\le R_i\)。同时，A 选择的排列的逆序对数必须是偶数，B 选择的排列的逆序对数必须是奇数（显然 A 的排列和 B 的排列不可能相同）。每一轮选择的排列不能和之前出现过的排列相同。先无法选择排列的输，若双方同时无法选择排列则和局。
\(T\) 组数据，每次给定 \(n,L_i,R_i\)，求游戏的结果。
Solution
就是让你比逆序对数是奇数的排列多 还是是偶数的排列多。
前置知识：行列式
看到逆序对计数，我们很容易想到行列式。
因为行列式的公式是 $$det(a) = \sum\limits_{p_{1\cdots n}} (-1)^{\sigma(p)} \prod\limits_{i=1}^n a_{i,p_i}$$ 其中 \(p\) 为 \(1\) 到 \(n\) 的任意排列，\(\sigma(p)\) 表示排列 \(p\) 的逆序对数。
这个公式本身就和逆序对数有关系。
其中排列 \(p\) 等价于本题中 A 和 B 选择的排列。
然后关键就是后面那个 \(\prod\limits_{i=1}^n a_{i,p_i}\) 的意义。
显然，只要有一个 \(a_{i,p_i}\) 为 \(0\)，这个式子就为 \(0\)。
那么不难想到，对于一组限制 \(L_i\le P_i\le R_i\)，可以将矩阵的第 \(i\) 行的第 \(L_i\) 到 \(R_i\) 位设为 \(1\)，其余位设为 \(0\)。
这样 \(\prod\limits_{i=1}^n a_{i,p_i} = 1\) 当且仅当排列 \(p\) 中的每一个数 \(p_i\) 都满足限制 \(L_i\le p_i\le R_i\)。其余情况下 \(\prod\limits_{i=1}^n a_{i,p_i} = 0\)，表示不满足限制。
现在只有所有满足限制的排列 \(p\) 才会被计算一次，下面考虑 \(\sum\limits_{p_{1\cdots n}} (-1)^{\sigma(p)}\)。
这就是把逆序对数为奇数的排列 \(p\) 的权值记为 \(-1\)，逆序对数为偶数的排列 \(p\) 的权值记为 \(1\)。
所以最后算出来的行列式的值 \(det(a) = 满足条件的逆序对数为偶数的排列数 - 满足条件的逆序对数为奇数的排列数\)
直接判断 \(det(a)\) 是 \(\gt 0\)，\(\lt 0\) 还是 \(=0\) 就好了。
那行列式 \(det(a)\) 的值怎么算？
最暴力的是 \(O(n^3)\) 的高斯消元做法，即把行列式高消成上三角，对角线上所有数的乘积 就是行列式的值。
因为有 \(100\) 组数据，这个做法只能得 \(35\) 分，但在高消时判断若 \(a_{i,i}=0\) 则直接返回行列式值为 \(0\)，可以卡到 \(70\) 分。
观察到矩阵中所有数都是 \(0,1\)，而且每行只有一个连续段是 \(1\)，其余位置都是 \(0\)。那么可以优化高消过程。
依然从小到大枚举 \(x\)，找到左端点为 \(x\) 的右端点最小的区间，设其右端点为 \(y\)，则模拟高消过程，其余左端点为 \(x\) 的区间的左端点都会被挪到 \(y+1\)。
把所有全 \(1\) 连续段按左端点分类，那么这一轮高消就是把左端点为 \(x\) 的集合 合并到左端点为 \(y+1\) 的集合。
同时我们还要支持查询一个集合中的最小值（集合中存储所有连续段的右端点）。
左偏树即可。
复杂度 \(O(Tn\log n)\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define N 100002
using namespace std;
inline int read(){
int x=0; bool f=1; char c=getchar();
for(;!isdigit(c); c=getchar()) if(c=='-') f=0;
for(; isdigit(c); c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
if(f) return x;
return 0-x;
}
int n,l[N],r[N],siz,rt[N],ch[N][2],dis[N],lst[N];
bool vis[N];
int merge(int x, int y){
if(!x || !y) return x|y;
if(r[x]>r[y]) swap(x,y);
ch[x][1] = merge(ch[x][1],y);
if(dis[ch[x][0]]<dis[ch[x][1]]) swap(ch[x][0],ch[x][1]);
dis[x] = dis[ch[x][1]]+1;
return x;
}
inline void ins(int L, int x){
rt[L] = merge(rt[L], x);
}
inline int popNode(int x){
return merge(ch[x][0], ch[x][1]);
}
int solve(){
for(int i=1; i<=n; ++i) rt[i]=ch[i][0]=ch[i][1]=dis[i]=0, vis[i]=0;
for(int i=1; i<=n; ++i) ins(l[i],i);
int ans=1;
for(int i=1; i<=n; ++i){
int x=rt[i];
if(!x) return 0;
rt[i] = popNode(x);
lst[i] = x;
if(rt[i] && r[rt[i]]==r[x]) return 0;
rt[r[x]+1] = merge(rt[i], rt[r[x]+1]);
}
if(ans==0) return 0;
int tot = n;
for(int i=1; i<=n; ++i) if(!vis[i]){
--tot; int x=i;
do{
vis[x]=1, x=lst[x];
}while(x!=i);
}
if(tot&1) ans=-ans;
return ans;
}
int main(){
int T=read();
while(T--){
n=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) l[i]=read(), r[i]=read();
int ans=solve();
if(ans==1) puts("Y");
else if(ans==-1) puts("F");
else puts("D");
}
return 0;
}
/*
3
1
1 1
2
2 2
1 1
2
1 2
1 2
*/
