蓝桥杯之博弈问题
[5.1 题外 Excel地址]
Excel单元格的地址表示很有趣，它使用字母来表示列号，比如：
A表示第1列，
B表示第2列，
Z表示第26列，
AA表示第27列，
AB表示第28列，
BA表示第53列，
....
当然Excel的最大列号是有限度的，所以转换起来不难。
如果我们想把这种表示法一般化，可以把很大的数字转换为很长的字母序列呢？
本题目既是要求对输入的数字, 输出其对应的Excel地址表示方式。
例如，
输入：
26
则程序应该输出：
Z
再例如，
输入：
2054
则程序应该输出：
BZZ
我们约定，输入的整数范围[1,2147483647]
思路：
其实这道题很简单，被视频带进坑里去了，并且还在网上找到一篇分析很复杂的文章：http://blog.csdn.net/christinez/article/details/79397382
其实这道题很简单，虽然跟进制转换有点区别，是1-26分别表示A-Z，没有0，但我们输入的10进制数字是包括0的（输入的数字范围1--，进制转换的数字范围0--），因此，我们将输入的数字进行减1操作在进行运算，便得到正常的26进制转换，得到的第0个表示A，第25个表示Z。
代码：
高斯日记
大数学家高斯有个好习惯：无论如何都要记日记。
他的日记有个与众不同的地方，他从不注明年月日，而是用一个整数代替，比如：4210
后来人们知道，那个整数就是日期，它表示那一天是高斯出生后的第几天。这或许也是个好习惯，它时时刻刻提醒着主人：日子又过去一天，还有多少时光可以用于浪费呢？
高斯出生于：1777年4月30日。
在高斯发现的一个重要定理的日记上标注着：5343，因此可算出那天是：1791年12月15日。
高斯获得博士学位的那天日记上标着：8113
请你算出高斯获得博士学位的年月日。
思路：
判断闰年的标准是：1、能整除4且不能整除100 2、能整除400
判断两个日期之间的差值：
本题思路：首先，我们实用一个结构体表示日期，使用总的天数减去从开始日期到第一年结束的天数，这里有一个小的需要注意的地方，由于开始日期也算在里面，即从1777年4月30日，则那天为第一天，因此需要先减去一天，然后对days按年减，这其中需要判断是否为闰年，如果是，则要再减去一个1，直到days<=366，这便是最后一年，再将days与每个月的天数相减，知道days<monthday[i]，最后将days赋值给out.day，即为最后一个月的第几天。
本题源码：
国庆节星期几
1949年的国庆节（10月1日）是星期六。
今年（2012）的国庆节是星期一。
那么，从建国到现在，有几次国庆节正好是星期日呢？
只要答案，不限手段！
可以用windows日历，windows计算器，Excel公式，。。。。。
当然，也可以编程！
思路：不用想得太复杂，因为只有需要求出有多少个星期天，只需要以年为单位将天数进行累加，如果是闰年，则多加一天，将每年10月1日离1949年10月1日的天数用变量保存，将此数值与7取模，如果等于1，则是星期天。
代码：
[5.2 简单博弈]
取球博弈
今盒里有n个小球，A、B两人轮流从盒中取球。
每个人都可以看到另一个人取了多少个，也可以看到盒中还剩下多少个。
两人都很聪明，不会做出错误的判断。
每个人从盒子中取出的球的数目必须是：1，3，7或者8个。
轮到某一方取球时不能弃权！
A先取球，然后双方交替取球，直到取完。
被迫拿到最后一个球的一方为负方（输方）
编程确定出在双方都不判断失误的情况下，对于特定的初始球数，A是否能赢？
思路：
博弈思路，我可以有四种取法，然后把剩下的情况交给对方，如果有一种情况下，对手输，那么我就赢了，否则，我就输了。
代码：
[5.3 有平局博弈]
填字母游戏
K大师在纸上画了一行n个格子，要小明和他交替往其中填入字母。
1. 轮到某人填的时候，只能在某个空格中填入L或O
2. 谁先让字母组成了“LOL”的字样，谁获胜。
3. 如果所有格子都填满了，仍无法组成LOL，则平局。
小明试验了几次都输了，他很惭愧，希望你能用计算机帮他解开这个谜。
本题的输入格式为：
第一行，数字n（n<10），表示下面有n个初始局面。
接下来，n行，每行一个串，表示开始的局面。
比如：“******”, 表示有6个空格。“L****”, 表示左边是一个字母L，它的右边是4个空格。
要求输出n个数字，表示对每个局面，如果小明先填，当K大师总是用最强着法的时候，小明的最好结果。
1 表示能赢
-1 表示必输
0 表示可以逼平
例如，
输入：
4
***
L**L
L**L***L
L*****L
则程序应该输出：
0
-1
1
1
思路：
本体是一道非常明显的博弈问题，相对于上一道题，本题增加了平局，在试填时，我向'*'处填入'L'和'O'，然后把局面交给对方，只要对方在其中任意一种情况下返回输，那么我就赢了，如果对方没有返回一次输，但是有返回平，那么久产生了平局，最后，才考虑我输了。
[5.4 尼姆定理]
斯普莱格–格隆第定理
任何无偏游戏都可以等价到尼姆堆
----------------------------------------
真题 高僧斗法
古时丧葬活动中经常请高僧做法事。
仪式结束后，有时会有“高僧斗法”的趣味节目，以舒缓压抑的气氛。
节目大略步骤为：先用粮食（一般是稻米）在地上“画”出若干级台阶（表示N级浮屠）。
又有若干小和尚随机地“站”在某个台阶上。
最高一级台阶必须站人，其它任意。(如图所示)
两位参加斗法的法师分别指挥某个小和尚向上走任意多级的台阶，但会被站在高级台阶上的小和尚阻挡，不能越过。
两个小和尚也不能站在同一台阶，也不能向低级台阶移动。
两法师轮流发出指令，最后所有小和尚必然会都挤在高段台阶，再也不能向上移动。
轮到哪个法师指挥时无法继续移动，则游戏结束，该法师认输。
对于已知的台阶数和小和尚的分布位置，请你计算先发指令的法师该如何决策才能保证胜出。
输入数据为一行用空格分开的N个整数，表示小和尚的位置。台阶序号从1算起，所以最后一个小和尚的位置即是台阶的总数。（N<100, 台阶总数<1000）
输出为一行用空格分开的两个整数: A B, 表示把A位置的小和尚移动到B位置。
若有多个解，输出A值较小的解，若无解则输出-1。
例如：
用户输入：
1 5 9
则程序输出：
1 4
再如：
用户输入：
1 5 8 10
则程序输出：
1 3
思路：
本题的思路在于将问题转换成尼姆堆，只要非对称博弈问题（对双方平等，不像下棋，还要分先后，不存在平局），本题中，我们两个和尚为一组，他们之间的距离为尼姆堆的大小，通过前面尼姆堆问题输赢的判断方法，得出对方的输赢。
代码：
[5.5 伪博弈]
古代赌局
俗话说：十赌九输。因为大多数赌局的背后都藏有阴谋。
不过也不尽然，有些赌局背后藏有的是：“阳谋”。
有一种赌局是这样的：桌子上放六个匣子，编号是1至6。
多位参与者（以下称玩家）可以把任意数量的钱押在某个编号的匣子上。
所有玩家都下注后，庄家同时掷出3个骰子（骰子上的数字都是1至6）。
输赢规则如下：
1.若只有1个骰子上的数字与玩家所押注的匣子号相同，则玩家拿回自己的押注，庄家按他押注的数目赔付（即1比1的赔率）。
2.若2个骰子上的数字与玩家所押注的匣子号相同，则玩家拿回自己的押注，庄家按他押注的数目的2倍赔付（即1比2的赔率）。
3.若3个骰子上的数字都与玩家押注的匣子号相同，则玩家拿回自己的押注，庄家按他押注的数目的10倍赔付（即1比10的赔率）。
乍一看起来，好像规则对玩家有利，庄家吃亏。但经过大量实战，会发现局面很难说，于是怀疑是否庄家做了手脚，庄家则十分爽快地说：可以由玩家提供骰子，甚至也可以由玩家来投掷骰子。
你的任务是：通过编程模拟该过程。模拟50万次，假定只有1个玩家，他每次的押注都是1元钱，其押注的匣子号是随机的。再假定庄家有足够的资金用于赔付。最后计算出庄家的盈率（庄家盈利金额/押注总金额）。
思路：
本题直接实用随机函数生成对应的结果并进行判断，返回输赢情况。
代码：
[5.6 作业 火柴游戏]
这是一个纵横火柴棒游戏。
如图1，在3x4的格子中，游戏的双方轮流放置火柴棒。
其规则是：
1. 不能放置在已经放置了火柴棒的地方（即只能在空格中放置）。
2. 火柴棒的方向只能是竖直或水平放置。
3. 火柴棒不能与其它格子中的火柴“连通”。
所谓连通是指两根火柴棒可以连成一条直线，且中间没有其它不同方向的火柴“阻拦”。
例如：
图1所示的局面下，可以在C2位置竖直放置（为了方便描述格子位置，图中左、下都添加了标记），但不能水平放置，因为会与A2连通。
同样道理，B2，B3，D2此时两种方向都不可以放置。
但如果C2竖直放置后，D2就可以水平放置了，因为不再会与A2连通（受到了C2的阻挡）。
4. 游戏双方轮流放置火柴，不可以弃权，也不可以放多根。
如某一方无法继续放置，则该方为负（输的一方）。
游戏开始时可能已经放置了多根火柴。
你的任务是：编写程序，读入初始状态，计算出对自己最有利的放置方法并输出放置后的局面。
图1的局面表示为：
00-1
-000
0100
即用“0”表示空闲位置，用“1”表示竖直放置，用“-”表示水平放置。
解法不唯一，找到任意解法即可。
例如，局面：
0111
-000
-000
的解：
-111
-000
-000
再例如，局面：
1111
----
0010
的解：
1111
----
0110
Excel单元格的地址表示很有趣，它使用字母来表示列号，比如：
A表示第1列，
B表示第2列，
Z表示第26列，
AA表示第27列，
AB表示第28列，
BA表示第53列，
....
当然Excel的最大列号是有限度的，所以转换起来不难。
如果我们想把这种表示法一般化，可以把很大的数字转换为很长的字母序列呢？
本题目既是要求对输入的数字, 输出其对应的Excel地址表示方式。
例如，
输入：
26
则程序应该输出：
Z
再例如，
输入：
2054
则程序应该输出：
BZZ
我们约定，输入的整数范围[1,2147483647]
思路：
其实这道题很简单，被视频带进坑里去了，并且还在网上找到一篇分析很复杂的文章：http://blog.csdn.net/christinez/article/details/79397382
其实这道题很简单，虽然跟进制转换有点区别，是1-26分别表示A-Z，没有0，但我们输入的10进制数字是包括0的（输入的数字范围1--，进制转换的数字范围0--），因此，我们将输入的数字进行减1操作在进行运算，便得到正常的26进制转换，得到的第0个表示A，第25个表示Z。
代码：
#include <stdio.h>
void g2(int n){
char str[27];
for(int i=0;i<26;i++){
str[i]='A'+i;
}
int a[100];
int i=0;
while(n>0){
a[i++]=(n-1)%26;
n=(n-1)/26;
}
for(int j=i-1;j>=0;j--){
printf("%c",str[a[j]]);
}
}
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
g2(n);
}高斯日记
大数学家高斯有个好习惯：无论如何都要记日记。
他的日记有个与众不同的地方，他从不注明年月日，而是用一个整数代替，比如：4210
后来人们知道，那个整数就是日期，它表示那一天是高斯出生后的第几天。这或许也是个好习惯，它时时刻刻提醒着主人：日子又过去一天，还有多少时光可以用于浪费呢？
高斯出生于：1777年4月30日。
在高斯发现的一个重要定理的日记上标注着：5343，因此可算出那天是：1791年12月15日。
高斯获得博士学位的那天日记上标着：8113
请你算出高斯获得博士学位的年月日。
思路：
判断闰年的标准是：1、能整除4且不能整除100 2、能整除400
判断两个日期之间的差值：
#include<cstdio>
int isleapyear(int year){
int flag=0;
if((year%400==0)||(year%4==0&&year%100!=0)){
flag=1;
}
return flag;
}
int getdays(int year,int month,int day){
int days1[]={31,29,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
int days2[]={31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
int sum=0;
for(int i=1;i<=year;i++){
sum+=365;
if(isleapyear(i)){
sum+=1;
}
}
for(int i=1;i<month;i++){
if(isleapyear(year)){
sum+=days1[i];
}else{
sum+=days2[i];
}
}
sum+=day;
return sum;
}
int day(int year1,int month1,int day1,
int year2,int month2,int day2){
return getdays(year2,month2,day2)-getdays(year1,month1,day1);
}
int main(){
int result=day(1979,12,15,2015,3,2);
printf("%d",result);
}本题思路：首先，我们实用一个结构体表示日期，使用总的天数减去从开始日期到第一年结束的天数，这里有一个小的需要注意的地方，由于开始日期也算在里面，即从1777年4月30日，则那天为第一天，因此需要先减去一天，然后对days按年减，这其中需要判断是否为闰年，如果是，则要再减去一个1，直到days<=366，这便是最后一年，再将days与每个月的天数相减，知道days<monthday[i]，最后将days赋值给out.day，即为最后一个月的第几天。
本题源码：
#include<cstdio>
struct date{
int year,month,day;
};
int isleapyear(int year){
int flag=0;
if((year%400==0)||(year%4==0&&year%100!=0)){
flag=1;
}
return flag;
}
date getdate(date in,int days){
int monthday[]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
date out;
days--;
days-=(monthday[in.month]-in.day);
for(int i=in.month+1;i<=12;i++){
days-=monthday[i];
}
if(isleapyear(in.year)&&in.month<=2){
days-=1;
}
out.year=in.year+1;
while(days>366){
days-=365;
if(isleapyear(out.year)){
days-=1;
}
out.year++;
}
out.month=1;
int i=1;
if(isleapyear(out.year)){
monthday[2]++;
}
while(days>monthday[i]){
out.month++;
days-=monthday[i];
i++;
}
out.day=days;
return out;
}
int main(){
date in;
in.year=1777;
in.month=4;
in.day=30;
date result=getdate(in,8113);
printf("%d-%d-%d",result.year,result.month,result.day);
}国庆节星期几
1949年的国庆节（10月1日）是星期六。
今年（2012）的国庆节是星期一。
那么，从建国到现在，有几次国庆节正好是星期日呢？
只要答案，不限手段！
可以用windows日历，windows计算器，Excel公式，。。。。。
当然，也可以编程！
思路：不用想得太复杂，因为只有需要求出有多少个星期天，只需要以年为单位将天数进行累加，如果是闰年，则多加一天，将每年10月1日离1949年10月1日的天数用变量保存，将此数值与7取模，如果等于1，则是星期天。
代码：
#include<cstdio>
int isleapyear(int year){
if(year%400==0||(year%4==0&&year%100!=0)) return 1; else return 0;
}
int getsundays(){
int year=1949,days=0,count=0;
year++;
while(year<=2012){
days+=365;
if(isleapyear(year)){
days++;
}
if((days%7)==1){
printf("%d\n",year);
count++;
}
year++;
}
printf("%d",count);
}
int main(){
getsundays();
}[5.2 简单博弈]
取球博弈
今盒里有n个小球，A、B两人轮流从盒中取球。
每个人都可以看到另一个人取了多少个，也可以看到盒中还剩下多少个。
两人都很聪明，不会做出错误的判断。
每个人从盒子中取出的球的数目必须是：1，3，7或者8个。
轮到某一方取球时不能弃权！
A先取球，然后双方交替取球，直到取完。
被迫拿到最后一个球的一方为负方（输方）
编程确定出在双方都不判断失误的情况下，对于特定的初始球数，A是否能赢？
思路：
博弈思路，我可以有四种取法，然后把剩下的情况交给对方，如果有一种情况下，对手输，那么我就赢了，否则，我就输了。
代码：
#include<cstdio>
int g(int n){
if(n==0){
return 1;
}
if(n>=1&&g(n-1)==0) return 1;
if(n>=3&&g(n-3)==0) return 1;
if(n>=7&&g(n-7)==0) return 1;
if(n>=8&&g(n-8)==0) return 1;
return 0;
}
int main(){
for(int i=1;i<=50;i++){
if(g(i)){
printf("%d:赢\n",i);
}else{
printf("%d:输\n",i);
}
}
}[5.3 有平局博弈]
填字母游戏
K大师在纸上画了一行n个格子，要小明和他交替往其中填入字母。
1. 轮到某人填的时候，只能在某个空格中填入L或O
2. 谁先让字母组成了“LOL”的字样，谁获胜。
3. 如果所有格子都填满了，仍无法组成LOL，则平局。
小明试验了几次都输了，他很惭愧，希望你能用计算机帮他解开这个谜。
本题的输入格式为：
第一行，数字n（n<10），表示下面有n个初始局面。
接下来，n行，每行一个串，表示开始的局面。
比如：“******”, 表示有6个空格。“L****”, 表示左边是一个字母L，它的右边是4个空格。
要求输出n个数字，表示对每个局面，如果小明先填，当K大师总是用最强着法的时候，小明的最好结果。
1 表示能赢
-1 表示必输
0 表示可以逼平
例如，
输入：
4
***
L**L
L**L***L
L*****L
则程序应该输出：
0
-1
1
1
思路：
本体是一道非常明显的博弈问题，相对于上一道题，本题增加了平局，在试填时，我向'*'处填入'L'和'O'，然后把局面交给对方，只要对方在其中任意一种情况下返回输，那么我就赢了，如果对方没有返回一次输，但是有返回平，那么久产生了平局，最后，才考虑我输了。
代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
int g(char str[]){
char array[]={'L','O'};
if(strstr(str,"LOL")!=NULL){
return -1;
}
if(strchr(str,'*')==NULL){
return 0;
}
int ping=0,flag=0;;
for(int i=0;i<strlen(str);i++){
if(str[i]!='*') continue;
for(int j=0;j<2;j++){ //试填
str[i]=array[j];
int tmp=g(str);
if(tmp==-1){
flag=1;
}
if(tmp==0){
ping=1;
}
}
str[i]='*'; //回溯
}
if(flag){
return 1;
}
if(ping){
return 0;
}
return -1;
}
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
while(n--){
char str[100];
scanf("%s",&str);
int r=g(str);
printf("%d\n",r);
}
} [5.4 尼姆定理]
斯普莱格–格隆第定理
任何无偏游戏都可以等价到尼姆堆
----------------------------------------
真题 高僧斗法
古时丧葬活动中经常请高僧做法事。
仪式结束后，有时会有“高僧斗法”的趣味节目，以舒缓压抑的气氛。
节目大略步骤为：先用粮食（一般是稻米）在地上“画”出若干级台阶（表示N级浮屠）。
又有若干小和尚随机地“站”在某个台阶上。
最高一级台阶必须站人，其它任意。(如图所示)
两位参加斗法的法师分别指挥某个小和尚向上走任意多级的台阶，但会被站在高级台阶上的小和尚阻挡，不能越过。
两个小和尚也不能站在同一台阶，也不能向低级台阶移动。
两法师轮流发出指令，最后所有小和尚必然会都挤在高段台阶，再也不能向上移动。
轮到哪个法师指挥时无法继续移动，则游戏结束，该法师认输。
对于已知的台阶数和小和尚的分布位置，请你计算先发指令的法师该如何决策才能保证胜出。
输入数据为一行用空格分开的N个整数，表示小和尚的位置。台阶序号从1算起，所以最后一个小和尚的位置即是台阶的总数。（N<100, 台阶总数<1000）
输出为一行用空格分开的两个整数: A B, 表示把A位置的小和尚移动到B位置。
若有多个解，输出A值较小的解，若无解则输出-1。
例如：
用户输入：
1 5 9
则程序输出：
1 4
再如：
用户输入：
1 5 8 10
则程序输出：
1 3
思路：
本题的思路在于将问题转换成尼姆堆，只要非对称博弈问题（对双方平等，不像下棋，还要分先后，不存在平局），本题中，我们两个和尚为一组，他们之间的距离为尼姆堆的大小，通过前面尼姆堆问题输赢的判断方法，得出对方的输赢。
代码：
#include<cstdio>
int f(int a[],int len){
int sum=0;
for(int i=0;i<len-1;i+=2){
sum^=a[i+1]-a[i]-1;
}
if(sum!=0) return 1; else return 0;
}
void g(int a[],int len){
for(int i=0;i<len-1;i++){
for(int j=a[i]+1;j<a[i+1];j++){
int old=a[i];
a[i]=j;
if(f(a,len)==0){
printf("%d %d",old,j);
return;
}
a[i]=old;
}
}
}
int main(){
int a[100],i=0;
do{
scanf("%d",&a[i++]);
}while(getchar()!='\n');
g(a,i);
} [5.5 伪博弈]
古代赌局
俗话说：十赌九输。因为大多数赌局的背后都藏有阴谋。
不过也不尽然，有些赌局背后藏有的是：“阳谋”。
有一种赌局是这样的：桌子上放六个匣子，编号是1至6。
多位参与者（以下称玩家）可以把任意数量的钱押在某个编号的匣子上。
所有玩家都下注后，庄家同时掷出3个骰子（骰子上的数字都是1至6）。
输赢规则如下：
1.若只有1个骰子上的数字与玩家所押注的匣子号相同，则玩家拿回自己的押注，庄家按他押注的数目赔付（即1比1的赔率）。
2.若2个骰子上的数字与玩家所押注的匣子号相同，则玩家拿回自己的押注，庄家按他押注的数目的2倍赔付（即1比2的赔率）。
3.若3个骰子上的数字都与玩家押注的匣子号相同，则玩家拿回自己的押注，庄家按他押注的数目的10倍赔付（即1比10的赔率）。
乍一看起来，好像规则对玩家有利，庄家吃亏。但经过大量实战，会发现局面很难说，于是怀疑是否庄家做了手脚，庄家则十分爽快地说：可以由玩家提供骰子，甚至也可以由玩家来投掷骰子。
你的任务是：通过编程模拟该过程。模拟50万次，假定只有1个玩家，他每次的押注都是1元钱，其押注的匣子号是随机的。再假定庄家有足够的资金用于赔付。最后计算出庄家的盈率（庄家盈利金额/押注总金额）。
思路：
本题直接实用随机函数生成对应的结果并进行判断，返回输赢情况。
代码：
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
int f(){
int n=0;
int a=(int)(rand()/(RAND_MAX+0.0)*6)+1;
int b=(int)(rand()/(RAND_MAX+0.0)*6)+1;
int c=(int)(rand()/(RAND_MAX+0.0)*6)+1;
int w=(int)(rand()/(RAND_MAX+0.0)*6)+1;
if(a==w) n++;
if(b==w) n++;
if(c==w) n++;
if(n==3) return -10;
if(n==2) return -2;
if(n==1) return -1;
return 1;
}
int main(){
int n=500*1000;
double sum=0;
for(int i=0;i<n;i++){
sum+=f();
}
printf("%f",sum/n);
}[5.6 作业 火柴游戏]
这是一个纵横火柴棒游戏。
如图1，在3x4的格子中，游戏的双方轮流放置火柴棒。
其规则是：
1. 不能放置在已经放置了火柴棒的地方（即只能在空格中放置）。
2. 火柴棒的方向只能是竖直或水平放置。
3. 火柴棒不能与其它格子中的火柴“连通”。
所谓连通是指两根火柴棒可以连成一条直线，且中间没有其它不同方向的火柴“阻拦”。
例如：
图1所示的局面下，可以在C2位置竖直放置（为了方便描述格子位置，图中左、下都添加了标记），但不能水平放置，因为会与A2连通。
同样道理，B2，B3，D2此时两种方向都不可以放置。
但如果C2竖直放置后，D2就可以水平放置了，因为不再会与A2连通（受到了C2的阻挡）。
4. 游戏双方轮流放置火柴，不可以弃权，也不可以放多根。
如某一方无法继续放置，则该方为负（输的一方）。
游戏开始时可能已经放置了多根火柴。
你的任务是：编写程序，读入初始状态，计算出对自己最有利的放置方法并输出放置后的局面。
图1的局面表示为：
00-1
-000
0100
即用“0”表示空闲位置，用“1”表示竖直放置，用“-”表示水平放置。
解法不唯一，找到任意解法即可。
例如，局面：
0111
-000
-000
的解：
-111
-000
-000
再例如，局面：
1111
----
0010
的解：
1111
----
0110
