斐波那契数列的几种编程实现及一般推广

斐波那契数列是一列规律很简单、明显的数列，它的第0项是0，第1项是1，第2项是1，依此类推，之后每一项是之前两数的和。首几个数是：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ……（OEIS A000045）

编程实现

实现它最容易想到的方法，可以设一个数组，首两项是0和1，从n=2项起，每一项是之前两项之和，循环依次赋值，这里代码略去。下面介绍另几种实现方法。

用递归方法实现：

static long getItemRecursive(int index)
{
	if (index < 1) return 0;
	if (index == 1) return 1;
	return getItemRecursive(index - 1) + getItemRecursive(index - 2);
}

这种实现方式最直观，但会很耗时，若方法名为fib，当index为5时，fib(5)的计算过程如下：

fib(5)
fib(4) + fib(3)
(fib(3) + fib(2)) + (fib(2) + fib(1))
((fib(2) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))
(((fib(1) + fib(0)) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))

由上面可以看出，这种算法对于相似的子问题进行了重复的计算，因此不是一种高效的算法。实际上，该算法的运算时间是指数级增长的。

另外两种递归实现：

static long getItem2(int index)
{
	return getItemRecursive2(0, 1, 0, index);
}

static long getItemRecursive2(int curr, int next, int currIndex, int index)
{
	if (currIndex == index)
	{
		return curr;
	}
	else
	{
		return getItemRecursive2(next, curr + next, currIndex + 1, index);
	}
}

static void getItemRecursive1(out long a2, out long a1, int index)
{
	if (index <= 1)
	{
		a2 = 1;
		a1 = 0;
	}
	else
	{
		long m2, m1;
		getItemRecursive1(out m2, out m1, index - 1);
		a1 = m2;
		a2 = m2 + m1;
	}
}

利用动态规划：

static long getItem(int index)
{
	long n0 = 0, n1 = 1;
	if (index < 1) return n0;
	if (index == 1) return n1;
	long sn;
	for (int i = 2; i <= index; i++)
	{
		sn = n0 + n1;
		n0 = n1;
		n1 = sn;
		//或者以下方法
		//n1 = n0 + n1;
		//n0 = n1 - n0;
		//或者以下方法
		//n0 = n1 ^ (n0 + n1);
		//n1 = n1 ^ n0;
		//n0 = n1 ^ n0;
	}
	return n1;
}

利用矩阵乘法、快速幂的实现：

这种方式当计算较大项（index大于65535）时，所花费的时间要比前面的方法花费的时间少至少一个数量级。

原理如下：

实现代码：

class FibonacciCalculator
{
	struct FibonacciMatrixMultiple
	{
		public BigInteger a11;
		public BigInteger a12;
		public BigInteger a21;
		public BigInteger a22;

		public FibonacciMatrixMultiple(BigInteger p_a11, BigInteger p_a12, BigInteger p_a21, BigInteger p_a22)
		{
			this.a11 = p_a11;
			this.a12 = p_a12;
			this.a21 = p_a21;
			this.a22 = p_a22;
		}

		public static FibonacciMatrixMultiple operator *(FibonacciMatrixMultiple mat1, FibonacciMatrixMultiple mat2)
		{
			return new FibonacciMatrixMultiple(
				mat1.a11 * mat2.a11 + mat1.a12 * mat2.a21,
				mat1.a11 * mat2.a12 + mat1.a12 * mat2.a22,
				mat1.a21 * mat2.a11 + mat1.a22 * mat2.a21,
				mat1.a21 * mat2.a12 + mat1.a22 * mat2.a22
				);
		}
	}

	struct FibonacciMatrix
	{
		public BigInteger a11;
		public BigInteger a21;

		public FibonacciMatrix(BigInteger p_a11, BigInteger p_a21)
		{
			this.a11 = p_a11;
			this.a21 = p_a21;
		}

		public static FibonacciMatrix operator *(FibonacciMatrixMultiple mat1, FibonacciMatrix mat2)
		{
			return new FibonacciMatrix(
				mat1.a11 * mat2.a11 + mat1.a12 * mat2.a21,
				mat1.a21 * mat2.a11 + mat1.a22 * mat2.a21
				);
		}
	}

	private static FibonacciMatrix getFibonacciMatrix(int n)
	{
		FibonacciMatrix resultMatix = new FibonacciMatrix(1, 1);
		FibonacciMatrixMultiple multiple = new FibonacciMatrixMultiple(1, 1, 1, 0);
		while (n > 0)
		{
			if ((n & 1) == 1)
				resultMatix = multiple * resultMatix;
			n >>= 1;
			if (n > 0)
				multiple *= multiple;
		}
		return resultMatix;
	}

	public static BigInteger GetFibonacci(int index)
	{
		if (index < 1) return 0;
		if (index == 1) return 1;
		return getFibonacciMatrix(index - 2).a11;
	}
}

JAVA实现：

 1 class FibonacciCalculator {
 2     static class FibonacciMatrixMultiple {
 3         public BigInteger a11;
 4         public BigInteger a12;
 5         public BigInteger a21;
 6         public BigInteger a22;
 7 
 8         public FibonacciMatrixMultiple(BigInteger p_a11, BigInteger p_a12,
 9                 BigInteger p_a21, BigInteger p_a22) {
10             this.a11 = p_a11;
11             this.a12 = p_a12;
12             this.a21 = p_a21;
13             this.a22 = p_a22;
14         }
15     }
16 
17     public static FibonacciMatrixMultiple Multiply(
18             FibonacciMatrixMultiple mat1, FibonacciMatrixMultiple mat2) {
19         return new FibonacciMatrixMultiple(mat1.a11.multiply(mat2.a11).add(
20                 mat1.a12.multiply(mat2.a21)), mat1.a11.multiply(mat2.a12).add(
21                 mat1.a12.multiply(mat2.a22)), mat1.a21.multiply(mat2.a11).add(
22                 mat1.a22.multiply(mat2.a21)), mat1.a21.multiply(mat2.a12).add(
23                 mat1.a22.multiply(mat2.a22)));
24     }
25 
26     static class FibonacciMatrix {
27         public BigInteger a11;
28         public BigInteger a21;
29 
30         public FibonacciMatrix(BigInteger p_a11, BigInteger p_a21) {
31             this.a11 = p_a11;
32             this.a21 = p_a21;
33         }
34     }
35 
36     public static FibonacciMatrix Multiply2(FibonacciMatrixMultiple mat1,
37             FibonacciMatrix mat2) {
38         return new FibonacciMatrix(mat1.a11.multiply(mat2.a11).add(
39                 mat1.a12.multiply(mat2.a21)), mat1.a21.multiply(mat2.a11).add(
40                 mat1.a22.multiply(mat2.a21)));
41     }
42 
43     private static FibonacciMatrix getFibonacciMatrix(int n) {
44         FibonacciMatrix resultMatrix = new FibonacciMatrix(
45                 BigInteger.valueOf(1), BigInteger.valueOf(1));
46         FibonacciMatrixMultiple multiple = new FibonacciMatrixMultiple(
47                 BigInteger.valueOf(1), BigInteger.valueOf(1),
48                 BigInteger.valueOf(1), BigInteger.valueOf(0));
49         while (n > 0) {
50             if ((n & 1) == 1)
51                 resultMatrix = Multiply2(multiple, resultMatrix);
52             n >>= 1;
53             if (n > 0)
54                 multiple = Multiply(multiple, multiple);
55         }
56         return resultMatrix;
57     }
58 
59     public static BigInteger GetFibonacci(int index) {
60         if (index < 1)
61             return BigInteger.valueOf(0);
62         if (index == 1)
63             return BigInteger.valueOf(1);
64         return getFibonacciMatrix(index - 2).a11;
65     }
66 }

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通项公式

斐波那契数列有通项公式（推导见下方）：

令人惊奇的是，公式中的a_n值是以无理数的幂表示的，然而所得的结果完全是整数。

不难看出，数列随着项数n的增加，前后项之比值会愈来愈趋近于黄金比例。

推广

斐波那契—卢卡斯数列

卢卡斯数列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。（我们可称之为斐波那契—卢卡斯递推：从第三项开始，每一项都等于前两项之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2）。

卢卡斯数列的通项公式为 f(n)=[(1+√5)/2]^n+[(1-√5)/2]^n

这两个数列还有一种特殊的联系（如下表所示），F(n)*L(n)=F(2n)，及L(n)=F(n-1)+F(n+1)

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
斐波那契数列F(n)	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	…
卢卡斯数列L(n)	1	3	4	7	11	18	29	47	76	123	…
F(n)*L(n)	1	3	8	21	55	144	377	987	2584	6765	…

类似的数列还有无限多个，我们称之为斐波那契—卢卡斯数列。

如1，4，5，9，14，23…，因为1，4开头，可记作F[1，4]，斐波那契数列就是F[1，1]，卢卡斯数列就是F[1，3]，斐波那契—卢卡斯数列就是F[a，b]。

斐波那契—卢卡斯数列之间的广泛联系
①任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。
如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1）

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
F[1,4]n	1	4	5	9	14	23	37	60	97	157	…
F[1,3]n	1	3	4	7	11	18	29	47	76	123	…
F[1,4]n-F[1,3]n	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	…
F[1,4]n+F[1,3]n	2	7	9	16	25	41	66	107	173	280	…

②任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
F[1,1](n)	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	…
F[1,1](n-1)	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	…
F[1,1](n-1)	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	…
F[1,3]n	1	3	4	7	11	18	29	47	76	123	…

黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列

斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值，
斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1
卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5
F[1，4]数列：|4*4-1*5|=11
F[2，5]数列：|5*5-2*7|=11
F[2，7]数列：|7*7-2*9|=31
斐波那契数列这个值是1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。
而F[1，4]与F[2，5]的黄金特征都是11，是孪生数列。F[2，7]也有孪生数列：F[3，8]。其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列，称为孪生斐波那契—卢卡斯数列。

广义斐波那契数列

斐波那契数列的黄金特征1，还让我们联想到佩尔数列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（该类数列的这种特征值称为勾股特征）。
佩尔数列Pn的递推规则：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1).
据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，称为广义斐波那契数列。
当p=1，q=1时，我们得到斐波那契—卢卡斯数列。
当p=2，q=1时，我们得到佩尔—勾股弦数（跟边长为整数的直角三角形有关的数列集合）。
当p=2，q=-1时，我们得到等差数列。其中f(1)=1，f(2)=2时，我们得到自然数列1，2，3，4…。自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1（等差数列的这种差值称为自然特征）。
具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义斐波那契数列p=±1。
当f1=1，f2=2，p=2，q=1时，我们得到等比数列1，2，4，8，16……

通项公式推导

对于广义斐波那契数列 $F_n=p \cdot F_{n-1}+q \cdot F_{n-2}$ ，有

$a_n=pa_{n-1}+qa_{n-2}$

设

$a_n +\alpha a_{n-1}=\beta (a_{n-1}+\alpha a_{n-2})$

化简得：

$a_n=(\beta -\alpha) a_{n-1}+ \alpha\beta a_{n-2}$

比较系数可得：

$\begin{cases} \beta-\alpha=p \\ \alpha\beta=q \end{cases}$

当p² + 4q > 0，解得：

$\begin{cases} \alpha_1=\dfrac{-p+\sqrt{p^2+4q}}{2} \\ \beta_1=\dfrac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2} \end{cases}$

$\begin{cases} \alpha_2=\dfrac{-p-\sqrt{p^2+4q}}{2} \\ \beta_2=\dfrac{p-\sqrt{p^2+4q}}{2} \end{cases}$

令

$T_n=a_n+\alpha_1a_{n-1}$

有

$T_n=\beta_1T_{n-1}$

$T_n={\beta_1}^{n-2}T_2$

$a_n+\dfrac{-p+\sqrt{p^2+4q}}{2}a_{n-1}=\left(\dfrac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2}\right)^{n-2}\left(a_2+\dfrac{-p+\sqrt{p^2+4q}}{2}a_1\right)$ ...①

令

$S_n=a_n+\alpha_2a_{n-1}$

有

$S_n=\beta_2S_{n-1}$

$S_n={\beta_2}^{n-2}S_2$

$a_n+\dfrac{-p-\sqrt{p^2+4q}}{2}a_{n-1}=\left(\dfrac{p-\sqrt{p^2+4q}}{2}\right)^{n-2}\left(a_2+\dfrac{-p-\sqrt{p^2+4q}}{2}a_1\right)$ ...②

联立①、②式，

①式等式两边同乘β₁得：

$\dfrac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2}a_n+2qa_{n-1}=\left(\dfrac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2}\right)^{n-1}\left(a_2+\dfrac{-p+\sqrt{p^2+4q}}{2}a_1\right)$

②式等式两边同乘β₂得：

$\dfrac{p-\sqrt{p^2+4q}}{2}a_n+2qa_{n-1}=\left(\dfrac{p-\sqrt{p^2+4q}}{2}\right)^{n-1}\left(a_2+\dfrac{-p-\sqrt{p^2+4q}}{2}a_1\right)$

两式相减得：

$\sqrt{p^2+4q}a_n=\left(\dfrac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2}\right)^{n-1}\left(a_2+\dfrac{-p+\sqrt{p^2+4q}}{2}a_1\right)-\left(\dfrac{p-\sqrt{p^2+4q}}{2}\right)^{n-1}\left(a_2+\dfrac{-p-\sqrt{p^2+4q}}{2}a_1\right)$

$a_n=\dfrac{\left(\dfrac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2}\right)^{n-1}\left(a_2+\dfrac{-p+\sqrt{p^2+4q}}{2}a_1\right)-\left(\dfrac{p-\sqrt{p^2+4q}}{2}\right)^{n-1}\left(a_2+\dfrac{-p-\sqrt{p^2+4q}}{2}a_1\right)}{\sqrt{p^2+4q}}$

斐波那契数列的特征为：a₁=1, a₂=1, p=1, q=1，代入上式可得通项公式为：

$a_{n}=\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]$

卢卡斯数列的特征为：a₁=1, a₂=3, p=1, q=1，代入上式可得通项公式为：

$a_{n}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}$

当p² + 4q = 0，解得：

$\begin{cases}\alpha=-\dfrac{p}{2} \\ \beta=\dfrac{p}{2}\end{cases}$

令

$T_n=a_n+\alpha a_{n-1}$

有

$T_n=\beta T_{n-1}$

$T_n=\beta^{n-2}T_2$

$a_n-\frac{p}{2}a_{n-1}=\left(\frac{p}{2}\right)^{n-2}\left(a_2-\frac{p}{2}a_1\right)$

$a_{n-1}-\frac{p}{2}a_{n-2}=\left(\frac{p}{2}\right)^{n-3}\left(a_2-\frac{p}{2}a_1\right)$

……

$a_2-\frac{p}{2}a_1=\left(\frac{p}{2}\right)^0\left(a_2-\frac{p}{2}a_1\right)$

将上述n-1个式子两边分别乘以1, $\frac{p}{2}$ , $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ , ... , $\left(\frac{p}{2}\right)^{n-2}$

$a_n-\frac{p}{2}a_{n-1}=\left(\frac{p}{2}\right)^{n-2}\left(a_2-\frac{p}{2}a_1\right)$

$\frac{p}{2}a_{n-1}-\left(\frac{p}{2}\right)^2a_{n-2}=\left(\frac{p}{2}\right)^{n-2}\left(a_2-\frac{p}{2}a_1\right)$

$\left(\frac{p}{2}\right)^2a_{n-2}-\left(\frac{p}{2}\right)^3a_{n-3}=\left(\frac{p}{2}\right)^{n-2}\left(a_2-\frac{p}{2}a_1\right)$

……

$\left(\frac{p}{2}\right)^{n-2}a_2-\left(\frac{p}{2}\right)^{n-1}a_1=\left(\frac{p}{2}\right)^{n-2}\left(a_2-\frac{p}{2}a_1\right)$

再相加，得：

$a_n-\left(\frac{p}{2}\right)^{n-1}a_1=\left(\frac{p}{2}\right)^{n-2}\left(a_2-\frac{p}{2}a_1\right)$

$a_n=\left(n-1\right)\left(\frac{p}{2}\right)^{n-2}a_2-\left(n-2\right)\left(\frac{p}{2}\right)^{n-1}a_1$

自然数数列的特征为：a₁=1, a₂=2, p=2, q=-1，代入上式可得通项公式为：

a_n=n

性质

一些有关斐波那契数列的Online Judge的题目参见：http://www.cnblogs.com/Knuth/archive/2009/09/04/1559951.html

参见

http://zh.wikipedia.org/wiki/斐波那契数列
 http://baike.baidu.com/view/816.htm
http://science.scileaf.com/library/763
http://bbs.tianya.cn/post-666-20190-1.shtml
http://www.hytc.cn/xsjl/szh/lec5.pdf

posted @ 2013-12-18 16:06 客家岸田阅读(1453) 评论(0) 编辑收藏举报

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