《信息学奥赛一本通》大盗阿福 题解

《信息学奥赛一本通》

大盗阿福

+++

阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。

这条街上一共有 NN 家店铺，每家店中都有一些现金。

阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。

作为一向谨慎作案的大盗，阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。

他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金？

输入格式

输入的第一行是一个整数 TT，表示一共有 TT 组数据。

接下来的每组数据，第一行是一个整数 NN ，表示一共有 NN 家店铺。

第二行是 NN 个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。

每家店铺中的现金数量均不超过1000。

输出格式

对于每组数据，输出一行。

该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。

数据范围

1≤T≤50
1≤N≤1e5

输入样例

2
3
1 8 2
4
10 7 6 14

输出样例：

8
24

题解

1.线性dp

状态属性：max，最大值

状态表示：f[i]，表示前i个商店打劫钱数的最大值。

分析状态转移方程：

集合划分：f[i] 的所有情况可以分为第i个商店不打劫和第i个商店打劫两种情况。

如果第i个商店不打劫，那么f[i] = f[i - 1]。如果第i个商店打劫，那么第i - 1个商店就不可以打劫。f[i] = f[i - 2] + a[i]。因为f[i - 2]肯定是不包含a[i - 1]的所有情况的，所以要从i - 2转移过来。

代码实现

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int f[N], a[N];
int t, n;

int main()
{
    scanf("%d", &t);
    
    while (t -- )
    {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", a + i);
        
        f[1] = a[1];
        
        for (int i = 2; i <= n; i ++ )
            f[i] = max(f[i - 2] + a[i], f[i - 1]);
        
        printf("%d\n", f[n]);
    }
    
    return 0;
}

2.状态机

状态表示：f[i] [1]表示第i家店打劫,f[i] [0]表示第i家店不打劫

状态属性：max， 最大值

分析状态转移方程：

第i家店不打劫，所以第i - 1家店打不打劫都可以，取最大值

f[i] [0] = max(f[i - 1] [0], f[i - 1] [1]);

第i家店打劫，第i - 1家店不可以打劫，i - 2家店打不打劫都可以， 取最大值

f[i] [1] = max(f[i - 1] [0], max(f[i - 2] [1], f[i - 2] [0]) + a[i])

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int f[N][2], a[N];
int t, n;

int main()
{
    scanf("%d", &t);
    
    while (t -- )
    {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", a + i);
        
        f[1][1] = a[1];
        
        for (int i = 2; i <= n; i ++ )
        {
            f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
            f[i][1] = max(f[i - 1][0], max(f[i - 2][1], f[i - 2][0]) + a[i]);
        }
        
        printf("%d\n", max(f[n][1], f[n][0]));
    }
    
    return 0;
}