Wannafly挑战赛16 C-小球碰撞

标签 ： 数学 逆元

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题目描述

一个弹球（可视为质点）被水平抛出，落地时发生完全弹性碰撞，设弹球第一次落地位置为x，则第i次落地位置为(2i-1)x.若弹球第一次落地的位置在区间[L,R]均匀随机分布，求弹球落在区间[L,R]内的总次数的数学期望值 
可以证明答案为有理数，若答案表示为最简分数为a/b，则存在c使得bc mod 998244353 = 1 ，只需输出ac mod 998244353

输入描述:

第一行，一个整数n
接下来n行，每行两个空格分隔的整数L,R
(1<=n<=50000,1<=L<R<=10000000)

输出描述:

输出n行，每行一个整数，表示a*c mod 998244353

示例

输入

3
3 4
3 5
1 5

输出

1
1
166374060

分析

1. 首先考虑会落在区间内恰好k次的初始下落位置的集合。显然，当满足\((2k-1)x \leq R\)且\((2k+1)x > R\)时
2. 化简1中式子可以得到\(x \in( \frac{R}{2k+1},\frac{R}{2k-1}]\)，所以应有\(x \in( max(L,\frac{R}{2k+1}),max(L,\frac{R}{2k-1})]\)
3. 所以下落k次的概率为\(f(k)= \frac{max(L,\frac{R}{2k-1}) - max(L,\frac{R}{2k+1})}{R-L}\)
4. 所求期望为 $$E(k)=\sum_{k=1}^{+\infty}kf(k)$$

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MOD=998244353;
const int maxn=1e7+50;
ll inv[maxn],sum[maxn];
void init()
{
    inv[1]=sum[1]=1;
    for(int i = 2; i < maxn; ++i) inv[i]=(-MOD/i+MOD)*inv[MOD%i]%MOD,sum[i]=(sum[i-2]+inv[i])%MOD;
}
int main()
{
    init();
    int q;
    scanf("%d", &q);
    while(q--){
        ll l,r;
        scanf("%lld%lld" ,&l,&r);
        ll e=(r/l+1)/2;
        ll ans=sum[2*e-1]-l*inv[r]%MOD*e%MOD;
        ans%=MOD;
        ans=ans*r%MOD*inv[r-l]%MOD;
        ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;
        printf("%lld\n", ans);
    }
}