基本的传染病模型：SI、SIS、SIR及其Python代码实现
本文主要参考博客：http://chengjunwang.com/en/2013/08/learn-basic-epidemic-models-with-python/。该博客有一些笔误，并且有些地方表述不准确，推荐大家阅读Albert-Laszlo Barabasi写得书Network Science，大家可以在如下网站直接阅读传染病模型这一章：http://barabasi.com/networksciencebook/chapter/10#contact-networks。Barabasi是一位复杂网络科学领域非常厉害的学者，大家也可以在他的官网上查看作者的一些相关工作。
下面我就直接把SIS模型和SIR模型的代码放上来一起学习一下。我的Python版本是3.6.1，使用的IDE是Anaconda3。Anaconda3这个IDE我个人推荐使用，用起来很方便，而且提供了Jupyther Notebook这个很好的交互工具，大家可以尝试一下，可在官网下载：https://www.continuum.io/downloads/。
在Barabasi写得书中，有两个Hypothesis：1,Compartmentalization; 2, Homogenous Mixing。具体看教材。
默认条件：1, closed population; 2, no births; 3, no deaths; 4, no migrations.
1. SI model
1 # -*- coding: utf-8 -*- 2 3 import scipy.integrate as spi 4 import numpy as np 5 import pylab as pl 6 7 beta=1.4247 8 """the likelihood that the disease will be transmitted from an infected to a susceptible 9 individual in a unit time is β""" 10 gamma=0 11 #gamma is the recovery rate and in SI model, gamma equals zero 12 I0=1e-6 13 #I0 is the initial fraction of infected individuals 14 ND=70 15 #ND is the total time step 16 TS=1.0 17 INPUT = (1.0-I0, I0) 18 19 def diff_eqs(INP,t): 20 '''The main set of equations''' 21 Y=np.zeros((2)) 22 V = INP 23 Y[0] = - beta * V[0] * V[1] + gamma * V[1] 24 Y[1] = beta * V[0] * V[1] - gamma * V[1] 25 return Y # For odeint 26 27 t_start = 0.0; t_end = ND; t_inc = TS 28 t_range = np.arange(t_start, t_end+t_inc, t_inc) 29 RES = spi.odeint(diff_eqs,INPUT,t_range) 30 """RES is the result of fraction of susceptibles and infectious individuals at each time step respectively""" 31 print(RES) 32 33 #Ploting 34 pl.plot(RES[:,0], '-bs', label='Susceptibles') 35 pl.plot(RES[:,1], '-ro', label='Infectious') 36 pl.legend(loc=0) 37 pl.title('SI epidemic without births or deaths') 38 pl.xlabel('Time') 39 pl.ylabel('Susceptibles and Infectious') 40 pl.savefig('2.5-SI-high.png', dpi=900) # This does increase the resolution. 41 pl.show()
结果如下图所示
在早期，受感染个体的比例呈指数增长， 最终这个封闭群体中的每个人都会被感染，大概在t=16时，群体中所有个体都被感染了。
2. SIS model
1 # -*- coding: utf-8 -*- 2 3 import scipy.integrate as spi 4 import numpy as np 5 import pylab as pl 6 7 beta=1.4247 8 gamma=0.14286 9 I0=1e-6 10 ND=70 11 TS=1.0 12 INPUT = (1.0-I0, I0) 13 14 def diff_eqs(INP,t): 15 '''The main set of equations''' 16 Y=np.zeros((2)) 17 V = INP 18 Y[0] = - beta * V[0] * V[1] + gamma * V[1] 19 Y[1] = beta * V[0] * V[1] - gamma * V[1] 20 return Y # For odeint 21 22 t_start = 0.0; t_end = ND; t_inc = TS 23 t_range = np.arange(t_start, t_end+t_inc, t_inc) 24 RES = spi.odeint(diff_eqs,INPUT,t_range) 25 26 print(RES) 27 28 #Ploting 29 pl.plot(RES[:,0], '-bs', label='Susceptibles') 30 pl.plot(RES[:,1], '-ro', label='Infectious') 31 pl.legend(loc=0) 32 pl.title('SIS epidemic without births or deaths') 33 pl.xlabel('Time') 34 pl.ylabel('Susceptibles and Infectious') 35 pl.savefig('2.5-SIS-high.png', dpi=900) # This does increase the resolution. 36 pl.show()
运行之后得到结果如下图：
由于个体被感染后可以恢复，所以在一个大的时间步，上图是t=17，系统达到一个稳态，其中感染个体的比例是恒定的。因此，在稳定状态下，只有有限部分的个体被感染，此时并不意味着感染消失了，而是此时在任意一个时间点，被感染的个体数量和恢复的个体数量达到一个动态平衡，双方比例保持不变。请注意，对于较大的恢复率gamma，感染个体的数量呈指数下降，最终疾病消失，即此时康复的速度高于感染的速度，故根据恢复率gamma的大小，最终可能有两种可能的结果。
3. SIR model
# -*- coding: utf-8 -*-
import scipy.integrate as spi
import numpy as np
import pylab as pl
beta=1.4247
gamma=0.14286
TS=1.0
ND=70.0
S0=1-1e-6
I0=1e-6
INPUT = (S0, I0, 0.0)
def diff_eqs(INP,t):
'''The main set of equations'''
Y=np.zeros((3))
V = INP
Y[0] = - beta * V[0] * V[1]
Y[1] = beta * V[0] * V[1] - gamma * V[1]
Y[2] = gamma * V[1]
return Y # For odeint
t_start = 0.0; t_end = ND; t_inc = TS
t_range = np.arange(t_start, t_end+t_inc, t_inc)
RES = spi.odeint(diff_eqs,INPUT,t_range)
print(RES)
#Ploting
pl.plot(RES[:,0], '-bs', label='Susceptibles') # I change -g to g-- # RES[:,0], '-g',
pl.plot(RES[:,2], '-g^', label='Recovereds') # RES[:,2], '-k',
pl.plot(RES[:,1], '-ro', label='Infectious')
pl.legend(loc=0)
pl.title('SIR epidemic without births or deaths')
pl.xlabel('Time')
pl.ylabel('Susceptibles, Recovereds, and Infectious')
pl.savefig('2.1-SIR-high.png', dpi=900) # This does, too
pl.show()
所得结果如下图：
