Lyapunov凸性定理

设 $(X,\mathscr{A})$ 是可测空间, $\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_N$ 是其上的有限正测度, 且无原子. 则

$$M:=\left\{(\mu_1(A),\mu_2(A),\cdots,\mu_N(A))^T\big| A\in \mathscr{A}\right\}$$
是 $\mathbb{R}^N$ 中的凸集.


命 $\mu=\mu_1+\mu_2+\cdots+\mu_N$, 则 $\mu_i\ll \mu,  i=1,2,\cdots,N$. 记
$$W=\{g\in L^\infty(X,\mathscr{A},\mu):0\leq g\leq 1\}.$$
定义
\begin{equation*}
\begin{split}
T: &W\rightarrow \mathbb{R}^N\\
&g\longmapsto \left(\int_X gd\mu_1,\int_X gd\mu_2,\cdots,\int_X gd\mu_N\right)^T.
\end{split}
\end{equation*}
由Alaoglu定理, $L^\infty(X,\mathscr{A},\mu)$ 的单位球是弱 $^*$ 紧的, 下面证明 $W$ 是弱 $^*$  闭的. 事实上, 若 $(g_i)$ 弱 $^*$ 收敛到 $g$, 即对任何 $f\in L^1(X,\mathscr{A},\mu)$, 有
$$\int_X fg_id\mu\rightarrow \int_X fgd\mu.$$
取 $f=1_{\mathbb{E}_n}$, 其中
$$E_n=\left\{x:g(x)\geq 1+\frac{1}{n}\right\}.$$
则有
$$\int_{E_n} g_id\mu\rightarrow \int_{E_n} gd\mu.$$
而
$$\int_{E_n} g_id\mu\leq \mu(E_n),$$
所以
$$\int_{E_n} gd\mu\leq \mu(E_n).$$
另一方面,
$$\int_{E_n} gd\mu\geq \left(1+\frac{1}{n}\right)\mu(E_n).$$
所以有
$$\mu(E_n)=0.$$
由此可知,
$$g\leq 1,\quad \mathrm{a.e.}$$
同理可证,
$$g\geq 0,\quad \mathrm{a.e.}$$
所以 $g\in W$, 即 $W$ 在 $L^\infty(X,\mathscr{A},\mu)$ 中是弱 $^*$ 闭的, 从而是弱 $^*$ 紧的.

下证~$T$~是弱~$^*$~连续的. 事实上, 若~$(g_i)$~弱~$^*$~收敛到~$g$, 取
$$f_j=\frac{d\mu_j}{d\mu}\in L^1(X,\mathscr{A},\mu),\quad j=1,2,\cdots,N,$$
则
$$\lim_i\int_X g_id\mu_j=\lim_i\int_Xf_jg_id\mu= \int_Xf_jgd\mu=\int_X gd\mu_j.$$
即~$Tg_i\rightarrow Tg$, 所以~$T$~是弱~$^*$~连续的.

设~$(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_N)^T\in T(W)$, 我们证明存在~$A\in \mathscr{A}$~ 使得
$$T(1_A)=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_N)^T.$$
事实上, 命~$W_0=T^{-1}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_N)^T$, 因为~$T$~是弱~$^*$~连续的, 所以~$W_0$~弱~$^*$~闭, 从而弱~$^*$~紧, 且是凸集. 又~$W_0\neq\varnothing$, 由Krein-Milman定理, 存在~$g\in \mathrm{ext}~W_0$. 下证~$g$~为特征函数. 若否, 则存在~$\varepsilon>0$~及~$E\in\mathscr{A}$, $\mu(E)>0$~使得
$$\varepsilon\leq g(x)\leq 1-\varepsilon,\quad x\in E.$$
由于~$\mu_i$~无原子, 所以~$\mu$~无原子.~(仅证明~$n=2$, 若否, 则存在~$F\in\mathscr{A}$~使得~$\mu(F)>0$~且~$E\subset F$~时, 要么~$\mu(E)=0$, 要么~$\mu(E)=\mu(F)$. 对于第一种情形, $\mu_1(E)=\mu_2(E)=0$, 可知~$\mu_1(F)=\mu_2(F)=0$)
所以存在~$E_1\subset E$~使得~$\mu (E_1)>0$, $\mu(E\backslash E_1)>0$, 一直下去, 存在互不相交的~$(E_i)_{i=1}^{N+1}$~满足
$$E=\bigcup_{i=1}^{N+1} E_i,\quad \mu(E_i)>0,~i=1,2,\cdots,N+1.$$
注意到
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\mu_1(E_1)\\
\mu_2(E_1)\\
\cdots\\
\mu_N(E_1)
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
\mu_1(E_2)\\
\mu_2(E_2)\\
\cdots\\
\mu_N(E_2)
\end{pmatrix},
\cdots,
\begin{pmatrix}
\mu_1(E_{N+1})\\
\mu_2(E_{N+1})\\
\cdots\\
\mu_N(E_{N+1})
\end{pmatrix}
\in\mathbb{R}^N,
\end{equation*}

从而线性相关, 设存在不全为~$0$~的系数~$a_1,a_2,\cdots,a_{N+1}$~使得
\begin{equation*}
a_1\begin{pmatrix}
\mu_1(E_1)\\
\mu_2(E_1)\\
\cdots\\
\mu_N(E_1)
\end{pmatrix}+
a_2\begin{pmatrix}
\mu_1(E_2)\\
\mu_2(E_2)\\
\cdots\\
\mu_N(E_2)
\end{pmatrix}+
\cdots+
a_{N+1}\begin{pmatrix}
\mu_1(E_{N+1})\\
\mu_2(E_{N+1})\\
\cdots\\
\mu_N(E_{N+1})
\end{pmatrix}
=0.
\end{equation*}
我们可要求
$$\sum_{i=1}^{N+1}|a_i|<\varepsilon.$$
取
$$h=\sum_{i=1}^{N+1} a_i 1_{E_i}.$$
则
$$\int_X hd\mu_i=0,\quad i=1,2,\cdots,N+1.$$
注意到
$$g\pm h\in W_0$$
且
$$g=\frac{1}{2}\left(g+h+g-h\right),\quad h\neq 0,$$
这与~$g\in \mathrm{ext}~W_0$~矛盾, 所以~$g$~为示性函数, 从而~$M=T(W)$, 易知~$W$~凸,~$T$~线性, 所以~$M$~凸, 得证.