第一回. 从有理数说起

数学中的数, 就像物理中的时间一样, 人人都知道, 唯独专家们不这样理解它.   ------Zorich

 

    "数学数学", 从字面上理解就是研究"数"的学问. 大多数人对自然数和整数有了一定的认识, 但对有理数和无理数仅仅有一些模糊的认识. 所以第一回就从有理数说起.

 

    人类认识数的过程可以看出文明发展的过程. 原始人类进行打猎, 需要把打猎获得的食物进行计数, 如果是 $1$, 就在绳子上打一个结, 如果是 $2$, 就在绳子上打两个结, 久而久之就形成了正整数的概念: $1,2,\cdots$.

 

    进一步, 为了交易的方便引入了零和负数. 比如说, 我欠你 $3$ 头牛, 那么我拥有牛的数目就是 $-3$, 等哪天我打猎得到了 $3$ 头牛, 把债还清, 则我拥有牛的数目就是 $0$.

这样, 在人类历史的发展过程中, 很自然地用到了自然数和整数的概念. 下面给它们下一个正式的定义.

 

(定义1) $0,1,2,3,\cdots$ 的全体称为自然数, 记为 $\mathbb{N}$. $0,\pm1,\pm2,\pm3,\cdots$ 的全体称为整数, 记为 $\mathbb{Z}$.

自然数有一个很好的性质, 称为良序性:

(定理1) 设 $A$ 是自然数集合 $\mathbb{N}$ 的一个子集, 则 $A$ 中一定有最小数.

证. 取 $m\in A$, 则 $\{0,1,2,\cdots,m\}\cap A$ 中一定有最小数, 它就是 $A$ 中最小数.

 

但是随着合作打猎方式的产生, 一个问题又出现了. 比如五个人去打猎, 得到一头牛, 那么每个人应该分得多少? 这个问题用方程去描述就是找一个数 $x$ 满足
$$5x=1.$$

首先这样的数一定不是整数, 不然会得出 $5$ 整除 $1$ 这样的矛盾. 所以我们自然想扩充数的范围, 使得上面的整数方程有解. 那么如何来解上面的方程呢? 假设一头牛能换五只鸡, 即
$$\text{牛}=\text{鸡}+\text{鸡}+\text{鸡}+\text{鸡}+\text{鸡}.$$
那么每个人所捕获的猎物相当于一只鸡, 这里鸡是比牛更小的计量单位. 受此启发, 我们构造这样的计量单位 $1/n$, 它满足
$$1=\underbrace{\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{n}.$$

此外, 我们记
$$\frac{m}{n}=\underbrace{\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{m}.$$

(定义2) 形如 $m/n$ 的数全体称为有理数, 记为 $\mathbb{Q}$, 其中 $m,n$ 是整数, $n\neq0$.

 

这样, 在有理数范围内, 如下的整数方程都有解.

$$nx=m,\quad n\neq0.$$

 

(定理2) 设 $q,s$ 是有理数, 则 $(q,s)$ 中存在有理数.

证. 取 $r=(q+s)/2$ 即可.

 

由定理2容易知道 $(1,2)$ 中没有最小元素, 所以有理数集 $\mathbb{Q}$ 没有良序性.

 

    有理数全体对于加法和除法运算封闭, 它构成一个域, 所以有理数集合通常又叫做有理数域.

 

    古希腊时期, 人们曾一度认为自然界的所有规律都可以用有理数去描述. 当时, 毕达哥拉斯已经发现了勾股定理并杀了一百头牛进行庆祝. 由勾股定理, 单位正方形的对角线长 $l$ 满足

$$l^2=1^2+1^2=2.$$

一个自然的问题是是否存在有理数 $l$ 满足上式. 如果存在, $l$ 到底又是哪两个正整数的比?

要回答这个问题, 我们假设存在互质的正整数 $p,q$ 使得
$$\frac{p^2}{q^2}=2\Rightarrow p^2=2q^2.$$
所以 $p$ 一定是偶数, 假设 $p=2t$, 则
$$4t^2=2q^2\Rightarrow2t^2=q^2.$$
所以 $q$ 一定是偶数, 这就和 $p,q$ 互质矛盾. 这种方法又叫无穷递降法, 主要利用了自然数的良序性. 所以并不存在有理数 $l$ 满足 $l^2=2$. 所以有理数并不足以描述自然界的规律, 这是人类踏上寻找更广类型数的一个动机.

    那么, 到底如何扩充有理数以得到更广类型的数呢? 且听下回分解.