闲暇随录

摘要： 设 $(X,\mathscr{A})$ 是可测空间, $\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_N$ 是其上的有限正测度, 且无原子. 则 $$M:=\left\{(\mu_1(A),\mu_2(A),\cdots,\mu_N(A))^T\big| A\in \mathscr{A}\right 阅读全文

摘要： 假如你有 $1$ 块钱, 存银行, 利率为 $100\%$, 那么一年后本息和为$$1+1=2.$$ 如果你换种存法, 存半年, 把本息和取出来, 再存半年, 那么一年后本息和为$$\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2.25.$$ 如果以四个月为一期存 阅读全文

摘要： 前面两回构造了实数系, 并且证明了实数全体构成一个有序域, 且有理数域在同构意义下是实数域的子域. 那么实数是否可以描述一些有理数所不能描述的自然界的规律呢? 答案是肯定的. (性质) 存在实数 $r>0$ 使得$$r^2=2.$$(上式的意思实际上是存在有理数基本列 $(q_n)$ 使得 $(q_ 阅读全文

摘要： 上回已经构造了实数系:$$\mathbb{R}=R/\sim.$$下面在 $\mathbb{R}$ 上定义一些运算使之构成一个域. $\mathbb{R}$ 中的元素由有理数基本列的等价类 $[(a_n)_{n\geq1}]$ 构成, 为了记号的方便, 我们今后就用$(a_n)$ 来表示. 仿照有理 阅读全文

摘要： 上回说到有理数不足以描述自然界的规律, 例如单位正方形的对角线无法用有理数去度量, 这一回就来好好说说如何构造更广类型的数. 一般来说有好几种办法可以构造, 例如Dedekind切割或者无限小数. 这里我们采用Cantor的基本列法. (定义1) 设 $(x_n)_{n\geq1}$ 是一个有理数列 阅读全文

摘要： 数学中的数, 就像物理中的时间一样, 人人都知道, 唯独专家们不这样理解它. Zorich "数学数学", 从字面上理解就是研究"数"的学问. 大多数人对自然数和整数有了一定的认识, 但对有理数和无理数仅仅有一些模糊的认识. 所以第一回就从有理数说起. 人类认识数的过程可以看出文明发展的过程. 原始 阅读全文