堆的基本概念及其操作
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堆是利用完全二叉树的结构来维护一组数据，然后进行相关操作，一般的操作进行一次的时间复杂度在 O(1) ~ O(logn) 之间。
若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。我们知道二叉树可以用数组模拟，堆自然也可以。
现在让我们来画一棵完全二叉树：
从图中可以看出，元素的父亲节点数组下标是本身的1/2(只取整数部分)，所以我们很容易去模拟，也很容易证明其所有操作都为log级别~~
堆还分为两种类型：大根堆、小根堆
顾名思义，就是保证根节点是所有数据中最大/小，并且尽力让小/大的节点在上方
不过有一点需要注意：堆内的元素并不一定数组下标顺序来排序的！！
很多的初学者会错误的认为大/小根堆中
下标为1就是第一大/小，2是第二大/小……
原因会在后面解释，现在你只需要深深地记住这一点！
我们刚刚画的完全二叉树中并没有任何元素，现在让我们加入一组数据吧！
下标从1到9分别加入：{8，5，2，9，3，7，1，4，6}。
如下图所示
我们可以发现这组数据是杂乱无章的，我们该如何去维护呢？
现在我就来介绍一下堆的几个基本操作：
- 上浮 shift_up
- 下沉 shift_down
- 插入 push
- 弹出 pop
- 取顶 top
- 堆排序 heap_sort
那么我们开始讲解操作过程吧，我们以小根堆为例
刚刚那组未处理过的数据中我们很容易就能看出，根节点1元素8绝对不是最小的
我们很容易发现它的一个儿子节点3(元素2)比它来的小，我们怎么将它放到最高点呢？很简单，直接交换嘛~~
但是，我们又发现了，3的一个儿子节点7(元素1)似乎更适合在根节点。
这时候我们是无法直接和根节点交换的，那我们就需要一个操作来实现这个交换过程，那就是上浮 shift_up。
操作过程如下：
从当前结点开始，和它的父亲节点比较，若是比父亲节点来的小，就交换，
然后将当前询问的节点下标更新为原父亲节点下标；否则退出。
模拟操作图示：
伪代码如下：
Shift_up( i )
{
while( i / 2 >= 1)
{
if( 堆数组名[ i ] < 堆数组名[ i/2 ] )
{
swap( 堆数组名[ i ] , 堆数组名[ i/2 ]) ;
i = i / 2;
}
else break;
｝
这一次上浮完毕之后呢，我们又发现了一个问题，貌似节点3(元素8)不太合适放在那，而它的子节点7(元素2)好像才应该在那个位置
我们知道，小根堆是尽力要让小的元素在较上方的节点，而下沉与上浮一样要以交换来不断操作，所以我们应该让节点7与其交换。
由此我们可以得出下沉的算法了：
让当前结点的左右儿子(如果有的话)作比较，哪个比较小就和它交换，并更新询问节点的下标为被交换的儿子节点下标，否则退出。
模拟操作图示：
伪代码如下：
Shift_down( i , n ) //n表示当前有n个节点
{
while( i * 2 <= n)
{
T = i * 2 ;
if( T + 1 <= n && 堆数组名[ T + 1 ] < 堆数组名[ T ])
T++;
if( 堆数组名[ i ] < 堆数组名[ T ] )
{
swap( 堆数组名[ i ] , 堆数组名[ T ] );
i = T;
}
else break;
}
// 伪代码下沉函数 第二个if判断有错误吧
讲完了上浮和下沉，接下来就是插入操作了~~~~
我们前面用的插入是直接插入，所以数据才会杂乱无章，那么我们如何在插入的时候边维护堆呢？
其实很简单，每次插入的时候呢，我们都往最后一个插入，让后使它上浮。
伪代码如下：
Push ( x )
{
n++;
堆数组名[ n ] = x;
Shift_up( n );
}
咳咳，说完了插入，我们总需要会弹出吧~~~~~
弹出，顾名思义就是把顶元素弹掉，但是，弹掉以后不是群龙无首吗？？
我们如何去维护这堆数据呢?
稍加思考，我们不难得出一个十分巧妙的算法：
让根节点元素和尾节点进行交换，然后让现在的根元素下沉就可以了!
伪代码如下：
Pop ( x )
{
swap( 堆数组名[1] , 堆数组名[ n ] );
n--;
Shift_down( 1 );
}
接下来是取顶…..根节点数组下标必定是1，返回堆[ 1 ]就OK了~~
注意：每次取顶要判断堆内是否有元素
说完这些，我们再来说说堆排序。
之前说过堆是无法以数组下标的顺序来来排序的对吧?
所以我个人认为呢，并不存在堆排序这样的操作，即便网上有很多堆排序的算法，但是我这里有个更加方便的算法：
开一个新的数组，每次取堆顶元素放进去，然后弹掉堆顶就OK了~
伪代码如下：
Heap_sort( a[] )
{
k=0;
while( size > 0 )
{
k++;
a[ k ] = top();
pop();
}
}
堆排序的时间复杂度是O(nlogn)理论上是十分稳定的，但是对于我们来说并没有什么卵用。
我们要排序的话，直接使用快排即可，时间更快，用堆排还需要O(2*n)的空间。这也是为什么我说堆的操作
时间复杂度在O(1)~O(logn)。
讲完到这里，堆也基本介绍完了，那么它有什么用呢？？
举个例子，比如当我们每次都要取某一些元素的最小值，而取出来操作后要再放回去，重复做这样的事情。
我们若是用快排的话，最坏的情况需要O(q*n^2)，而若是堆，仅需要O(q*logn)，时间复杂度瞬间低了不少。
还有一种最短路算法——Dijkstra，需要用到堆来优化
最后附上作者写的一份堆操作的代码(C++)：
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<iostream>
4 #include<algorithm>
5 #define maxn 100010 //这部分可以自己定义堆内存多少个元素
6 using namespace std;
7 struct Heap
8 {
9 int size,queue[maxn];
10 Heap() //初始化
11 {
12 size=0;
13 for(int i=0;i<maxn;i++)
14 queue[i]=0;
15 }
16 void shift_up(int i) //上浮
17 {
18 while(i>1)
19 {
20 if(queue[i]<queue[i>>1])
21 {
22 int temp=queue[i];
23 queue[i]=queue[i>>1];
24 queue[i>>1]=temp;
25 }
26 i>>=1;
27 }
28 }
29 void shift_down(int i) //下沉
30 {
31 while((i<<1)<=size)
32 {
33 int next=i<<1;
34 if(next<size && queue[next+1]<queue[next])
35 next++;
36 if(queue[i]>queue[next])
37 {
38 int temp=queue[i];
39 queue[i]=queue[next];
40 queue[next]=temp;
41 i=next;
42 }
43 else return ;
44 }
45 }
46 void push(int x) //加入元素
47 {
48 queue[++size]=x;
49 shift_up(size);
50 }
51 void pop() //弹出操作
52 {
53 int temp=queue[1];
54 queue[1]=queue[size];
55 queue[size]=temp;
56 size--;
57 shift_down(1);
58 }
59 int top(){return queue[1];}
60 bool empty(){return size;}
61 void heap_sort() //另一种堆排方式，由于难以证明其正确性
62 { //我就没有在博客里介绍了，可以自己测试
63 int m=size;
64 for(int i=1;i<=size;i++)
65 {
66 int temp=queue[m];
67 queue[m]=queue[i];
68 queue[i]=temp;
69 m--;
70 shift_down(i);
71 }
72 }
73 };
74 int main()
75 {
76 Heap Q;
77 int n,a,i,j,k;
78 cin>>n;
79 for(i=1;i<=n;i++)
80 {
81 cin>>a;
82 Q.push(a); //放入堆内
83 }
84
85 for(i=1;i<=n;i++)
86 {
87 cout<<Q.top()<<" "; //输出堆顶元素
88 Q.pop(); //弹出堆顶元素
89 }