扩展欧几里得（求解线性方程）

看了《数论概论》的相关章节-《线性方程与最大公因数》

首先是要证明一个方程必定有整数解

ax+by=gcd(a,b);  为方便 g=gcd(a,b), ax+by=g

这个证明有些复杂就不写了，而如何构造一个可行解（x1，y1）其实也在证明过程中

在得到一个可行解后就可以得到无数组解，他们是（x1-k*(b/g) , y1+k*(a/g)） ， （其中g=gcd（a，b），k是整数）

而对于方程ax+by=c，只要c是g倍数那么就有整数解，否则没有

 

可以这样思考: 对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b') 由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法) 那么可以得到: a'x + b'y = Gcd(a', b') ===> bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===> ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b) 因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)； p，q分别为ax+by=gcd(a,b)解出的x，y； 补充：关于使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法 对于不定整数方程xa+yb=c，若 c mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。

 

另外这个模板的一些细节

void gcd(long long a,long long b,long long& d,long long& x,long long& y)
{
    if(!b) { d=a; x=1; y=0; }
    else   { gcd(b, a%b, d, y, x); y-=x*(a/b); }
}

 

注意这个是求ax+by=gcd(a,b)的一个解(x0,y0)的。在这里a对应x，b对应y。而a和b的大小没有限制

调用时写 gcd(a,b,d,x,y) 或者 gcd(b,a,d,y,x) 都是正确的

但是       gcd(a,b,d,y,x) 或者 gcd(b,a,d,x,y) 是错误的

因为      y-=x*(a/b)是和  这个式子  ax+by=gcd(a,b)  相对应的

 

同样的普通的gcd

int gcd(int a ,int b)

{ return b==0?a:gcd(b,a%b); }

a和b的大小并没有要求，只不过a<b的话会做多一层递归而已，本质是一样的