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动态规划（递推）

选拔赛的题目，也是2012国赛的题目。题意：给n个节点，构建一棵树，使到同一层的节点所拥有的子节点数相等，问能构建出多少个

这句话，“使到同一层的节点所拥有的子节点数相等”，并没有把话说得很白，但是细想就可以发现，这句话是等同于说，这棵树是对称，而且非常对称，甚至可以想象到，以树根为轴，把树劈成两份，两边是对称的，取其中一边，再以树根劈开，两边还是对称的（这样强的对称性才满足题目说的那句话）

所以基于这点，我们可以想到，除开树根外，下面的子树（可能一棵子树，或者两棵，多棵），一定要完全相同的，为什么？哪怕每棵子树是对称的，但是子树与子树之间不同，那么都挂在树根上的时候，是不能满足  “使到同一层的节点所拥有的子节点数相等” 的。

因而问题来到这里就比较明显了，就是要找出一棵或多颗完全相同的，而且其本身也是强烈对称的子树，这不就是一个完全相同的子问题吗？因而递推就派上用场了

dp[i]=sum{ dp[j] } ( (i-1)%j==0 )  ，因为一个节点一定要用去做树根，所以剩下i-1个点，这i-1个节点把它分成几份，这几份完全相同，其本身强烈对称

 

 

总结：这题的英文本身也不好理解，能理解出中文的这句话“使到同一层的节点所拥有的子节点数相等” 是不容易的，能想到是由多颗完全相同的且其本身也完全对称的也不容易。当理解到这里，写代码已经是很容易的事情。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 1010
#define MOD 1000000007

long long dp[N];
int n;

void DP()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[1]=1; dp[2]=1;
    for(int i=3; i<=1000; i++)
        for(int j=1; j<=i-1; j++)
            if((i-1)%j == 0)
                dp[i] = (dp[i]+dp[j])%MOD;
}

int main()
{
    DP();
    int ccase=0;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        printf("Case %d: %lld\n",++ccase,dp[n]);
    }
    return 0;
}