uva 10791 Minimum Sum LCM

数学题

题意（就是因为读错题意而wa了一次）：给一个数字n，范围在[1,2^23-1]，这个n是一系列数字的最小公倍数，这一系列数字的个数至少为2

例如12，是1和12的最小公倍数，是3和4的最小公倍数，是1,2,3,4,6,12的最小公倍数，是12和12的最小公倍数………………

那么找出一个序列，使他们的和最小，上面的例子中，他们的和分别为13,7,28,24……显然最小和为7

 

这个题目一开始没有头绪，写了一个暴搜程序来找答案，然后一目了然

首先假设我们知道了一系列数字a1，a2，a3……an，他们的LCM是n，那么什么时候他们是最优解呢，当他们两两互质的时候

为了方便我们以两个数来说明问题。

a和b的LCM是n，GCD是m，那么n=a/m*b ， 它们的和就是sum=a+b;

如果m不为1（即a和b不互质），那么我们为什么不优化一下，将a变为a=a/m呢？，改变后a和b的LCM依然是n，但是他们的和显然减少了

所以我们得到最重要的一个性质，要想a1，a2，a3……an的和最小，要保证他们两两互质，只要存在不互质的两个数，就一定可以近一步优化

 

那我们怎么保证两两互质呢？方法其实很简单，直接分解质因子

例如24=2*2*2*3 ， 只能分解为8和3，因为这里有3个2，这3个2必须在一起，如果分开了这3个2，这出现有两个数会有一个公共的质因子2，并且会使这两个数的LCM不是24

再例如72=2*2*2*3*3，只能分为8和9，因为3个2和2个3都不能分开，他们必须在一次

所以，我们将一个数n分解为质因子后，顺便做一个处理，在除干净一个质因子的同时，将他们乘起来作为一个因子，处理完后会得到多个因子，他们之间同样满足两两互质的性质

然后是进一步的分析

例如264600=8*27*25*49  ， 只是由3个2,3个3,2个5,2个7，处理后得到的因子，那么8,27，25,49的LCM是264600，并且两两互质，他们还要不要处理呢？不需要了，直接将他们加起来就是我们要的答案！为什么呢？可以将8,27,25,49这些数字乘起来，无论怎样乘都好，最后得到的数字它们的LCM依然是n，但是乘起来再相加显然比直接相加要大得多！

 

所以我们已经得到了这个问题的解法

1.将一个数分解成质因子，将相同的因子乘起来作为一个处理后的因子

2.将处理后得到的多个因子直接相加就是答案

3.因为题目说只要需要两个数字，所以对于1和素数我们需要小心。对于素数，我们只能分解出一个因子就它自己，对于1一个因子都分解不出来（我们不把1当做因子），他们的答案都是n+1，因为只有1和n的LCM是n 

 

#include <cstdio>
#include <cmath>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 110
long long f[N],ccount;

void init(long long n)
{
    long long m=(long long)sqrt(n+0.5);

    ccount=0;
    for(long long i=2; i<=m && n>1; i++)  //质因子
    {
        if(!(n%i))  //可以分解出i这个质因子
        {
            long long fac=1;
            while(!(n%i) && n>1)
            { fac*=i; n/=i; }
            f[ccount++]=fac;  //fac是经过处理后的因子
        }
    }
    if(n>1) f[ccount++]=n;
/*
    for(int i=0; i<ccount; i++)
        printf("%lld ",f[i]);
    printf("\n");
*/
}
int main()
{
    long long n,ans;
    int Case=0,i;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF && n)
    {
        init(n);  //将n分解成因子
        if(!ccount || ccount==1)  //说明n是素数或者是1
            ans=n+1;
        else
            for(ans=0,i=0; i<ccount; i++)
                ans+=f[i];
        printf("Case %d: %lld\n",++Case,ans);
    }
    return 0;
}