uva 104 Arbitrage

DP构建（仿照Floyd）

这题说难挺难的，现在想想好像也不太难，是因为想复杂了。其实这题的要求不算多，它仅仅是要求最后转换回到出发时的那种硬币并且获利大于0.01，而转换次数不能超过n次，转换次数越少越好，然后输出最短的路径。注意：题目并没有说要你获利最大，只是是获利>=0.01即可，另外题目对路径并没有什么特殊要求，仅仅是要求不能超过n，在路径长度相同的情况任意一条都可以的。

所以我们就抓住一点：转换次数！！！！！！

也就是说每转换一次，我们就去找所有的货币，看他们回到自己的时候那些货币的获利已经大于0.01了，如果有货币的获利已经大于0.01了，那么我们的算法就结束了，就输出这种货币的转换路径（就算有多种货币的获利都大于0.01都好，输出哪种货币都行，因为题目也没有要求）

我们应该写一个最外层的循环，是表示第几次转换的，这个循环不能大于n，因为最多只能转换n次不管成功还是失败都要结束

然后，用转换次数来做最外层的循环这个策略是正确的，为什么呢？假设当前是第i+1次转换，那么是需要用到第i次转化的信息的！！！

为什么呢？我们可以回顾一下Floyd的本质。

原本的Floyd是一个三维数组   dp[k][i][j]=max{ dp[k-1][i][j]  , dp[k-1][i][k]+dp[k-1][k][j] }

我们平时写的Floyd都是二维的，其实是三维的压缩回来的，没什么能压缩掉最高的那一维呢？单单看状态转移方程都可能看出来，当前要构建的dp[k][i][j]其实只和之前的dp[k-1][][]有关，也就是现在的信息完全是基于前一次的信息推导出来的。这就像我们的滚动数组一样

 

所以我们来定义个状态dp[i][j][s]  i和j就是第i种和第j种货币，s是转换次数，s从1开始到n。也就是说，在第s次转换中，试图从i转化内j

那么状态转移方程是什么呢？ dp[i][j][s]=max{ dp[i][j][s-1] , dp[i][k][s-1]*g[k][j]}

g[i][j]是输入的数据也就是两两货币之间的转化率，其实可以保存在dp[i][j][0]里面

那么这个状态转移方程是什么意思呢？就是说在前一次转化后，现在想从i转换到j，试图通过k，看能不能让值更大，能的话就变大（变大一定不吃亏，因为题目也没要求货币变成多少，只是要求要大于0.01，所以当前要是能变大的话那当然变大）

 

 

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 25
double dp[N][N][N],p[N][N][N];
int n;

void print_path(int i ,int j , int s)
{
    if(s==0)
    {
        printf("%d",i);
        return ;
    }
    print_path(i, p[i][j][s] ,s-1);
    printf(" %d",j);
    return ;
}
void DP()
{
    int s,m;
    for(s=2; s<=n; s++)
    {
        for(int k=1; k<=n; k++)
            for(int i=1; i<=n; i++)
                for(int j=1; j<=n; j++)
                    if( dp[i][j][s] < dp[i][k][s-1]*dp[k][j][1])
                    {
                        dp[i][j][s]=dp[i][k][s-1]*dp[k][j][1];
                        p[i][j][s]=k;
            
                    }
        int i;
        for(i=1; i<=n; i++)
            if(dp[i][i][s]>1.01)
            { m=i ;break; }
        if(i<=n)
            break;
    }
    //printf("第%d步\n",s);
    if(s>n)
        printf("no arbitrage sequence exists");
    else
        print_path(m , m , s);

    printf("\n");
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(p,0,sizeof(p));
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                if(i==j) dp[i][j][1]=1;
                else     scanf("%lf",&dp[i][j][1]);
                p[i][j][1]=j;
            }
/*
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            for(int j=1; j<=n; j++)
                printf("%.2f ",dp[i][j][1]);
            printf("\n");
        }
*/
        DP();
    }
    return 0;
}