SPFA算法——最短路径

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粗略讲讲SPFA算法的原理，SPFA算法是1994年西安交通大学段凡丁提出

是一种求单源最短路的算法

算法中需要用到的主要变量

int n;  //表示n个点，从1到n标号

int s,t;  //s为源点，t为终点

int d[N];  //d[i]表示源点s到点i的最短路

int p[N];  //记录路径（或者说记录前驱）

queue <int> q;  //一个队列，用STL实现，当然可有手打队列，无所谓

bool vis[N];   //vis[i]=1表示点i在队列中 vis[i]=0表示不在队列中

 

几乎所有的最短路算法其步骤都可以分为两步

1.初始化

2.松弛操作

 

初始化： d数组全部赋值为INF（无穷大）；p数组全部赋值为s（即源点），或者赋值为-1，表示还没有知道前驱

             然后d[s]=0;  表示源点不用求最短路径，或者说最短路就是0。将源点入队；

　　　　（另外记住在整个算法中有顶点入队了要记得标记vis数组，有顶点出队了记得消除那个标记）

队列+松弛操作

读取队头顶点u，并将队头顶点u出队（记得消除标记）；将与点u相连的所有点v进行松弛操作，如果能更新估计值（即令d[v]变小），那么就更新，另外，如果点v没有在队列中，那么要将点v入队（记得标记），如果已经在队列中了，那么就不用入队

以此循环，直到队空为止就完成了单源最短路的求解

 

SPFA可以处理负权边

定理: 只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。

证明：

　　每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。（证毕）

期望的时间复杂度O(ke)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。

 

判断有无负环：

　　如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）

 

 

 

SPFA的两种写法，bfs和dfs，bfs判别负环不稳定，相当于限深度搜索，但是设置得好的话还是没问题的，dfs的话判断负环很快

 

int spfa_bfs(int s)
{
    queue <int> q;
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    d[s]=0;
    memset(c,0,sizeof(c));
    memset(vis,0,sizeof(vis));

    q.push(s);  vis[s]=1; c[s]=1;
    //顶点入队vis要做标记，另外要统计顶点的入队次数
    int OK=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x;
        x=q.front(); q.pop();  vis[x]=0;
        //队头元素出队，并且消除标记
        for(int k=f[x]; k!=0; k=nnext[k]) //遍历顶点x的邻接表
        {
            int y=v[k];
            if( d[x]+w[k] < d[y])
            {
                d[y]=d[x]+w[k];  //松弛
                if(!vis[y])  //顶点y不在队内
                {
                    vis[y]=1;    //标记
                    c[y]++;      //统计次数
                    q.push(y);   //入队
                    if(c[y]>NN)  //超过入队次数上限，说明有负环
                        return OK=0;
                }
            }
        }
    }

    return OK;

}

 

int spfa_dfs(int u)
{
    vis[u]=1;
    for(int k=f[u]; k!=0; k=e[k].next)
    {
        int v=e[k].v,w=e[k].w;
        if( d[u]+w < d[v] )
        {
            d[v]=d[u]+w;
            if(!vis[v])
            {
                if(spfa_dfs(v))
                    return 1;
            }
            else
                return 1;
        }
    }
    vis[u]=0;
    return 0;
}