TSP(旅行者问题)——动态规划详解（转）

1.问题定义

      TSP问题（旅行商问题）是指旅行家要旅行n个城市，要求各个城市经历且仅经历一次然后回到出发城市，并要求所走的路程最短。

      假设现在有四个城市，0,1,2,3，他们之间的代价如图一，可以存成二维表的形式

                     

                      图一                                                                                               

        现在要从城市0出发，最后又回到0，期间1，2，3都必须并且只能经过一次，使代价最小。

2.动态规划可行性

        设s, s1, s2, …, sp, s是从s出发的一条路径长度最短的简单回路，假设从s到下一个城市s1已经求出，则问题转化为求从s1到s的最短路径，显然s1, s2, …, sp, s一定构成一条从s1到s的最短路径，所以TSP问题是构成最优子结构性质的，用动态规划来求解也是合理的。

3.推导动态规划方程

        假设从顶点s出发，令d(i, V’)表示从顶点i出发经过V’(是一个点的集合)中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点s的最短路径长度。

        推导：(分情况来讨论)

        ①当V’为空集，那么d(i, V’)，表示从i不经过任何点就回到s了，如上图的 城市3->城市0(0为起点城市)。此时d(i, V’)=Cis(就是 城市i 到 城市s 的距离)、

        ②如果V’不为空，那么就是对子问题的最优求解。你必须在V’这个城市集合中，尝试每一个，并求出最优解。

           d(i, V’)=min{Cik +  d(k, V’-{k})}

           注：Cik表示你选择的城市和城市i的距离，d(k, V’-{k})是一个子问题。

        综上所述，TSP问题的动态规划方程就出来了：

        

4.实例分析

     现在对问题定义中的例子来说明TSP的求解过程。(假设出发城市是 0城市)

    

    ①我们要求的最终结果是d(0,{1,2,3}),它表示，从城市0开始，经过{1,2,3}之中的城市并且只有一次，求出最短路径.

    ②d(0,{1,2,3})是不能一下子求出来的，那么他的值是怎么得出的呢？看上图的第二层，第二层表明了d(0,{1,2,3})所需依赖的值。那么得出：

       d(0,{1,2,3})=min  {

                                    C01+d(1,{2,3})

                                    C02+d{2,{1,3}}

                                    C03+d{3,{1,2}}

                                  }

     ③d(1,{2,3})，d(2,{1,3})，d(3,{1,2})同样也不是一步就能求出来的，它们的解一样需要有依赖，就比如说d(1,{2,3})

       d(1,{2,3})=min{

                              C12+d(2,{3})                             

                              C13+d(3,{2})

                              }

       d(2,{1,3})，d(3,{1,2})同样需要这么求。

    ④按照上面的思路，只有最后一层的，当当V’为空集时，Cis的值才可以求，它的值是直接从

这张表里求得的。

5.编程思路

        将d(i, V’)转换成二维表，d[i][j]

        在程序中模拟填表的过程，主要要考虑到j这个参数的表示，它要代表一个集合，可以用二维数组来表示。

6.源代码

 实现上略有不同，d[i][k] 表示从i出发经过k中所有标志位为1的点（这里面是包括i的）后到达终点。

#include <iostream>
#include <memory.h>
#include <climits>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define MAX_CITY_NUM 10

// the number of the cities
int n;
// the city map
int cityMap[MAX_CITY_NUM][MAX_CITY_NUM];



//if city number less than 32, can use this simple method.(in vs2013,  more than 25 will cause an "array is too large" error)
int tsp1()
{
    int ret = INT_MAX;
    int d[MAX_CITY_NUM][1 << MAX_CITY_NUM];  //current city and past city

    for (int i = 0; i < MAX_CITY_NUM; i++)
        for (int j = 0; j < 1 << MAX_CITY_NUM; j++)
            d[i][j] = INT_MAX;

    //init every city to city0
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        d[i][1<<i] = cityMap[i][0];
    }
    
    for (int i = n-1; i >= 0; i--)    // the start city.
        for (int j = 1; j < n; j++)    //the end city.
            for (int k = 0; k < 1 << n; k++)
            {
                if (d[j][k&~(1 << i)] != INT_MAX && (k >> j & 1) && (k >> i & 1))
                {
                    //cout << d[i][k] << endl;
                    //cout << d[j][k&~(1 << i)] + cityMap[i][j] << endl;
                    d[i][k] = min(d[i][k], d[j][k&~(1 << i)] + cityMap[i][j]);
                    //if (d[i][k] < INT_MAX)
                        //cout << "d[" << i << "][" << k << "] = " << d[i][k] << endl;
                }
                    
            }

    ret = d[0][(1 << n) - 1];

    return ret;
}



int main()
{
    //init data.
    n = 4;
    memset(cityMap, 0, sizeof(cityMap));
    cityMap[0][1] = 3;
    cityMap[0][2] = 6;
    cityMap[0][3] = 7;
    cityMap[1][0] = 5;
    cityMap[1][2] = 2;
    cityMap[1][3] = 3;
    cityMap[2][0] = 6;
    cityMap[2][1] = 4;
    cityMap[2][3] = 2;
    cityMap[3][0] = 3;
    cityMap[3][1] = 7;
    cityMap[3][2] = 5;

    cout << tsp1() << endl;
}