数学常用模板

目录

• 快速幂
• 线性筛素数
• 扩展欧几里得
• 乘法逆元
• 矩阵乘法+矩阵快速幂
• null

快速幂

long long power(long long x,long long y,long long p) {
	long long ans=1;
	while(y) {
		if(y&1)
			ans=x*ans%p;
		y>>=1;
		x=x*x%p;
	}
	return ans%p;
}

线性筛素数

void get_prim() {
	memset(bb,true,sizeof(bb));
	for(int i=2; i<=n; i++) {
		if(bb[i]) {
			prim[++tot]=i;
			bb[i]=false;
		}
		for(int j=1; j<=tot&&i*prim[j]<=n; j++) {
			bb[i*prim[j]]=false;
			if(i%prim[j]==0)
				break;
		}
	}
}

扩展欧几里得

扩展欧几里得是用来解决形如\(ax+by=\gcd(a,b)\)的方程的解的。
由\(\gcd\)的性质，我们可以知道\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a \% b)\)。
假设有\(x',y'\)满足：

\[\begin{aligned} bx'+(a \% b)y'=\gcd(b,a \% b) \end{aligned}\]

因为\(a \%b = a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b\)。
所以有：

\[\begin{aligned} bx'+(a \% b)y'&=\gcd(b,a \% b)\\ bx'+(a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b)y'&=\gcd(b,a \% b)\\ bx'+ay'-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b \times y'&=\gcd(b,a \% b)\\ ay'+b(x'-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times y')&=\gcd(b,a \% b)\\ ay'+b(x'-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times y')&=\gcd(a,b) \end{aligned}\]

所以我们只需要令\(ax+by=\gcd(a,b)\)中的\(x=y',y=x-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times y'\)即可，递归求解。
代码：

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){//ax+by=gcd(a,b)
    if(b==0){x=1;y=0;return ;}
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;x=y,y=z-y*(a/b);
}

乘法逆元

\(\cdot\) 线性筛逆元
\(1\sim n\)中所有整数在模\(p\)意义下的乘法逆元。
我们已知\(f[1]=1\)
设\(p=k\times i+r,(1<r<i<p)\)，也就是 \(k\) 是\(p/i\)的商,\(r\)是余数 。
再将这个式子放到\(\pmod p\)意义下就会得到：

\[k\times i+r \equiv 0 \pmod p \]

然后乘上\(i^{-1}\),\(r^{-1}\)
就可以得到:

\[k\times r^{-1}+i^{-1}\equiv 0\pmod p \]

\[i^{-1}\equiv -k\times r^{-1}\pmod p \]

\[i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i} \rfloor*(p \bmod i)^{-1}\pmod p \]

f[1]=1;
for(int i=2; i<=n; i++)
      f[i]=(p-p/i)*f[p%i]%p;

\(\cdot\) 费马小定理
费马小定理内容：

假如\(p\)是质数，且\(\gcd(a,p)=1\)，那么\(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)

因为逆元的定义是

若\(a\times x\equiv 1 \pmod {b}\)，且\(a\)与\(b\)互质，那么我们就能定义:\(x\)为\(a\)的逆元，记为\(a^{-1}\)

所以我们发现上述定义中的\(x\)在费马小定理中就是\(a^{p-2}\)，所以我们直接快速幂求\(a^{p-2}\pmod p\)即可。
代码就不放了。
\(\cdot\) 扩展欧几里得
用扩欧求逆元就相当于求线性同余方程\(a\times x\equiv c\pmod b\)里\(c=1\)的情况，根据扩欧，
这个方程可以变形成\(a\times x + b\times y=1\),直接套扩欧模板求\(x\)即可。

矩阵乘法+矩阵快速幂

struct matrix{
	long long a[111][111];
	matrix(){
		memset(a,0,sizeof(a));
	}
	matrix operator *(matrix A){
		matrix C;
		for(long long i=1;i<=n;i++)
		for(long long j=1;j<=n;j++)
		for(long long k=1;k<=n;k++)
		C.a[i][j]=(C.a[i][j]+a[i][k]*A.a[k][j])%mod;
		return C;
	}
}A,F;
void ksm(ll k) {
	while(k) {
	      if(k&1)
	            F=F*A;
	      A=A*A;
	      k>>=1;
	}
}

\(\cdot\) 卡特兰数
递归公式1
\(f(n)=\sum^{n−1}_{i=0}f(i)∗f(n−i−1)\)
递归公式2
\(f(n)=\frac{f(n−1)∗(4∗n−2)}{n+1}\)
组合公式1
\(f(n)=\frac{C^n_{2n}}{n+1}\)
组合公式2，重要！重要！重要！
\(f(n)=C^n_{2n}−C^{n−1}_{2∗n}\)